1
https://maths-stcyr.jimdo.com/ Chapitre 4 PGCD et nombres premiers
I PGCD de deux entiers 1.1 Définition et propriétés
Exemples 1) Déterminons le 𝑃𝐺𝐶𝐷(24 ; 18).
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9. Donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(24 ; 18) = 6.
2) Pour calculer 𝑃𝐺𝐶𝐷(1636 ; 1128) à l’aide de la calculatrice :
Démonstration de (iv)
Exemples 𝑃𝐺𝐶𝐷(15 ; 8) = 1, 𝑃𝐺𝐶𝐷(21 ; 16) = 1.
Remarque Il ne faut pas confondre nombres premiers entre eux et nombres premiers. Les nombres 15 et 8 sont premiers entre eux mais ni l’un ni l’autre ne sont premiers (idem pour 21 et 16).
Démonstration
Définition Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non tous nuls.
L’ensemble des diviseurs communs à 𝑎 et 𝑏 admet un plus grand élément appelé plus grand diviseur commun.
On le note 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏).
Chapitre 4 PGCD ET NOMBRES PREMIERS Term - ME
Propriétés Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non tous nuls.
(i) 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏 ; 𝑎).
(ii) 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑎| ; |𝑏|).
(iii) 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 0) = 𝑎 et 𝑃𝐺𝐶𝐷(1 ; 𝑎) = 1.
(iv) Si 𝑏 divise 𝑎, alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = |𝑏|.
(v) 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 − 𝑏 ; 𝑏), 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏 − 𝑎), 𝜆 ∈ ℤ, 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝜆𝑎 + 𝑏).
(vi) Pour tout entier relatif 𝑘 non nul, on a : 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑘𝑎 ; 𝑘𝑏) = |𝑘|𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏).
Définition Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non tous nuls.
On dit que 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux si, et seulement si, 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 1.
Propriété Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non tous nuls.
On pose 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) et soit 𝑎′, 𝑏′ des entiers tels que 𝑎 = 𝑑𝑎′ et 𝑏 = 𝑑𝑏′.
Alors, 𝑎′ et 𝑏′ sont premiers entre eux.
1.2 Algorithme d’Euclide Histoire des maths
Les théories des nombres premiers se mettent en place grâce à Euclide d’Alexandrie (-320 ? ; - 260 ?). Euclide a existé ? On le pense sans en être certain. Dans son ouvrage Les éléments (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions, des propriétés et démontre certaines affirmations du passé, comme l’existence d’une infinité de nombres premiers. Il présente aussi la
décomposition en facteurs premiers liées à la notion de PGCD.
Euclide insistait toujours auprès de ses élèves pour dire que l’apprentissage des connaissances ne se fait pas dans un but intéressé, mais pour l’amour du Savoir. Un jour, un garçon qui assistait depuis peu à son cours s’interroge :
« Que puis-je gagner à écouter tout ceci ? » Euclide prend quelques pièces de monnaie et dit à son esclave :
« Donne-les-lui, puisqu’il tient à faire du gain à ce qu’il apprend ! »
Démonstration
Algorithme d’Euclide où 𝒂 ∈ ℕ∗ et 𝒃 ∈ ℕ∗ avec 𝒂 < 𝒃
Exercice
Remarque L’algorithme d’Euclide peut être présenté sous la forme de l’organigramme ci-dessous : Lemme d’Euclide
Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non tous nuls.
Si 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏 ; 𝑟).
Propriété
Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non tous nuls.
Lorsque 𝑏 ne divise pas 𝑎, le 𝑃𝐺𝐶𝐷 de 𝑎 et 𝑏 est égal au dernier reste non nul obtenu par l’algorithme d’Euclide.
3
https://maths-stcyr.jimdo.com/ Chapitre 4 PGCD et nombres premiers
Exemple Déterminons à l’aide de l’algorithme d’Euclide le 𝑃𝐺𝐶𝐷(1636 ; 1128).
II Théorème de Bézout et théorème de Gauss
2.1 Théorème de Bézout Histoire des maths
Etienne Bézout (Nemours, 1730 – Les Basses-Loges, 1783) est un mathématicien français qui a enseigné auprès des gardes de Marine et de l’Ecole d’artillerie (Monge lui succédera en 1783). Il publie un Cours de mathématiques qui connaîtra de nombreuses éditions tant en France qu’à l’étranger et diffusera dans toute l’Europe les travaux d’Euler et de d’Alembert. Ce cours eut une grande audience dans les écoles militaires, dont l’école de Brienne où étudia Napoléon, ainsi qu’à l’école Polytechnique de Paris dès sa création en 1794. Bézout s’intéresse
notamment à la résolution de des systèmes d’équations linéaires ; dans ce but il développe le calcul de déterminants. Son nom est principalement attaché à ses travaux sur les équations algébriques et à un célèbre résultat qu’il établit dans son traité de 1779 sur la divisibilité des polynômes que l’on va voir ci-dessous et appelé identité de Bézout.
Propriété Identité de Bézout
Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs nuls.
Si 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) alors il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 𝑑.
Démonstration exemplaire
On admet le lemme suivant : Tout sous-ensemble non vide de ℕ admet un plus petit élément.
Exemple On sait que 𝑃𝐺𝐶𝐷(55 ; 35) = 5, donc il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 55𝑢 + 35𝑣 = 5. On peut prendre, 𝑢 = 2 et 𝑣 = −3. En effet, 55 × 2 + 35 × (−3) = 5.
Remarques 1) Le couple (𝑢 ; 𝑣) n’est pas unique. On a PGCD(3 ; 2)=1 et 3 × 1 + 2 × (−1) = 1 mais aussi 3 × (−1) + 2 × 2 = 1.
2) La réciproque est fausse. Par exemple, 3 × 2 + 2 × (−2) = 2 et 2 ≠ 𝑃𝐺𝐶𝐷(2 ; 3).
Démonstration en exercice : voir n°88 p136
Exemples 1) L’équation 6𝑥 + 50𝑦 = 8 admet des solutions car 𝑃𝐺𝐶𝐷(6 ; 50) = 2 et 8 est un multiple de 2.
2) L’équation 8𝑥 + 36𝑦 = 5 n’admet pas de couples solutions car 𝑃𝐺𝐶𝐷(8 ; 36) = 4 et 4 n’est pas un multiple de 5.
Exercice 1 Détermination d’un couple (𝑢 ; 𝑣)
1) A l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer 𝑃𝐺𝐶𝐷(145 ; 55) = 𝑑.
2) En remontant l’algorithme d’Euclide déterminer un couple (𝑢 ; 𝑣) de nombres entiers relatifs solution de l’équation 145𝑥 + 55𝑦 = 𝑑.
Cette équation est appelée équation diophantienne c’est-à-dire une équation à coefficients entiers dont on cherche une solution entière (ou rationnelle).
Démonstration
- Si a et b sont premiers entre eux alors le résultat est immédiat d'après l'identité de Bézout.
- Supposons qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) divise a et b donc divise au + bv = 1. Donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 1. La réciproque est prouvée.
Théorème de Bézout
Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Corollaire
Soit 𝑎,𝑏 et c trois entiers relatifs nuls.
L’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑑 admet des couples d’entiers (𝑢 ; 𝑣) solutions ssi le nombre d est un multiple de PGCD(a ; b).
5
https://maths-stcyr.jimdo.com/ Chapitre 4 PGCD et nombres premiers
Exemple Pour tout nombre entier naturel 𝑛, 3 × (5𝑛 + 7) − 5 × (3𝑛 + 4) = 1. D’où 5n+7 et 3n+4 sont premiers entre eux.
2.2 Théorème de Gauss
Démonstration exemplaire
a divise bc donc il existe un entier k tel que bc = ka.
a et b sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1.
Soit : acu + bcv = c soit encore acu + kav = c Et donc a(cu + kv) = c
On en déduit que a divise c.
Exemple Résolvons l’équation 7𝑥 = 11𝑦 avec (𝑥, 𝑦) ∈ ℤ2 :
Remarque La condition a et b premiers entre eux est essentielle. Par exemple, 4 divise le produit 2 × 6 = 12 mais 4 ne divise ni 2 ni 6.
Démonstration
a et b divise c donc il existe deux entiers k et k' tel que c = ka = k'b.
Et donc a divise k'b.
a et b sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, a divise k'.
Il existe donc un entier k'' tel que k' = ak''.
Comme c = k'b, on a c = ak''b = k''ab Et donc ab divise c.
Exemples 1) 6 et 11 divisent 660, 6 et 11 sont premiers entre eux donc 66 divise 660.
2) Le produit 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) de trois entiers naturels consécutifs est divisible par 2 et par 3 qui sont 1ers entre eux donc 6 divise le produit.
Exercice 2 Détermination de tous les couples (𝑢 ; 𝑣)
Déterminer les couples (𝑢 ; 𝑣) de nombres entiers relatifs solutions de l’équation (E) : 122𝑥 − 321𝑦 = 1.
Théorème de Gauss
Soit 𝑎,𝑏 et 𝑐 trois entiers relatifs non nuls.
Si 𝑎 divise 𝑏𝑐 et si 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux, alors 𝑎 divise 𝑐.
Corollaire
Soit 𝑎,𝑏 et 𝑐 trois entiers relatifs non nuls.
Si a et b sont premiers entre eux et divisent tous les deux c, alors ab divise c.
III Nombres premiers
3.1 Définition
Remarques 1) 1 n’est pas un nombre 1er car il n’admet qu’un seul diviseur positif : lui-même. 0 n’est pas non plus un nombre 1er car il admet une infinité de diviseurs.
2) Un entier non premier est dit composé.
Exemples 1) Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 2) 6 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 2 et par 3.
3.2 Propriétés
Démonstration
Soit E l'ensemble des diviseurs de 𝑛 autre que 1 et 𝑛. Cet ensemble est non vide car 𝑛 n'est pas premier donc E admet un plus petit élément noté 𝑝.
𝑝 est premier car dans le cas contraire, 𝑝 admettrait un diviseur autre que 1 et 𝑝. Ce diviseur serait plus petit que 𝑝 et diviserait également 𝑛 ce qui contredit le fait que 𝑝 est le plus petit élément de E.
On peut écrire que 𝑛 = 𝑝𝑞 avec 𝑝 ≤ 𝑞 car 𝑝 est le plus petit élément de E.
Donc 𝑝 × 𝑝 ≤ 𝑝 × 𝑞 = 𝑛 et donc 𝑝 ≤ √𝑛.
Remarque La contraposée est utile pour démontrer qu’un nombre est 1er : Si n n’est divisible par aucun nombre 1er p tel que 2 ≤ 𝑝 ≤ √𝑛, alors n est 1er.
Exemple 391 est-il premier ?
Pour le vérifier, on teste la divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à √391 ≈ 19,8.
Soit : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19. Les critères de divisibilités connus en classe du collège permettent de vérifier facilement que 391 n'est pas divisible par 2, 3 et 5. En vérifiant par calcul pour 7, 11, 13 et 17, on constate que 391 : 17 = 23. On en déduit que 391 n'est pas premier.
Démonstration à connaître
Raisonnons par l’absurde. On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres 1ers 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛. Soit 𝑁 = 𝑝1𝑝2… 𝑝𝑛+ 1.
On a 𝑁 ≥ 2 et qui est non 1er donc d’après la propriété précédente, il admet au moins un diviseur 1er 𝑝𝑖 parmi les 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛.
Cet entier 𝑝𝑖 divise N et divise 𝑝1𝑝2… 𝑝𝑛 donc il divise 𝑁 − 𝑝1𝑝2… 𝑝𝑛 = 1.
Contradiction.
Définition
Un entier naturel est un nombre premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Propriété Soit n un entier naturel tel que 𝑛 ≥ 2.
Si n n’est pas 1er, alors n admet au moins un diviseur 1er p tel que 2 ≤ 𝑝 ≤ √𝑛.
Propriété Il existe une infinité de nombres premiers.
7
https://maths-stcyr.jimdo.com/ Chapitre 4 PGCD et nombres premiers
3.3 Décomposition en produit de facteurs premiers
Démonstration Existence :
- Si n est premier, l'existence est démontrée.
- Sinon, le plus petit diviseur 𝑝1 de 𝑛 est premier et il existe un entier naturel 𝑛1 tel que : 𝑛 = 𝑝1𝑛1
- Si 𝑛1 est premier, l'existence est démontrée.
- Sinon, le plus petit diviseur 𝑝2 de 𝑛1 est premier et il existe un entier naturel 𝑛2 tel que : 𝑛1= 𝑝2𝑛2 On réitère le processus pour obtenir une suite (𝑛𝑘) décroissante et finie d'entiers naturels.
Ainsi, 𝑛 se décompose en un produit de facteurs premiers du type : 𝑛 = 𝑝1𝛼1× 𝑝2𝛼2× … × 𝑝𝑟𝛼𝑟.
Unicité : On effectue une démonstration par récurrence
• Initialisation : Trivial pour 𝑛 = 2.
• Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :
Supposons qu'il existe un entier k strictement supérieur à 1, tel que la propriété soit vraie pour tout entier strictement inférieur à k : La décomposition de tout entier strictement inférieur à k en produit de facteurs premiers est unique.
- Démontrons que : La propriété est vraie au rang 𝑘 soit la décomposition de k en produit de facteurs premiers est unique.
Supposons qu'il existe deux décompositions distinctes : 𝑘 = 𝑝1𝑝2… 𝑝𝑟 = 𝑞1𝑞2… 𝑞𝑠.
Donc 𝑝1 divise 𝑞1𝑞2… 𝑞𝑠 et donc il existe un entier 𝑞𝑖 tel que 𝑝1 et 𝑞𝑖 ne soient pas premiers entre eux. Comme 𝑝1 et 𝑞𝑖 sont premiers, on a 𝑝1= 𝑞𝑖.
Le nombre 𝑙 = 𝑘
𝑝1 est inférieur à 𝑘 et on a : 𝑙 = 𝑝2𝑝3… 𝑝𝑟 = 𝑞1𝑞2… 𝑞𝑖−1𝑞𝑖+1… 𝑞𝑟
l qui est inférieur à k admet donc deux décompositions distinctes ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de récurrence.
• Conclusion :
La propriété est vraie pour 𝑛 = 2 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel 𝑛.
Exemple On a 132 = 22× 3 × 11.
Démonstration en exercice
Propriété Décomposition en produit de facteurs 1ers
Tout entier naturel 𝑛 ≥ 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.
On note 𝑛 = 𝑝1𝛼1× 𝑝2𝛼2× … × 𝑝𝑟𝛼𝑟 avec 𝑝1, 𝑝2, …, 𝑝𝑟 nombres premiers distincts et 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑟 entiers naturels non nuls.
Propriété Détermination des diviseurs d’un entier
Soit n un entier tel que 𝑛 ≥ 2 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : 𝑛 = 𝑝1𝛼1× 𝑝2𝛼2× … × 𝑝𝑟𝛼𝑟. Alors :
(i) les diviseurs de n sont exactement les nombres de la forme : 𝑝1𝛽1× 𝑝2𝛽2× … × 𝑝𝑟𝛽𝑟 avec 0 ≤ 𝛽𝑖 ≤ 𝛼𝑖 ; (ii) le nombre de diviseurs de n est égal à (𝛼1+ 1)(𝛼2+ 1) … (𝛼𝑅+ 1).
Exemple On a 196 = 22× 72. Déterminons tous les diviseurs positifs de 196 en listant toutes les combinaisons de puissances possibles.
IV Le petit théorème de Fermat Histoire des maths
Pierre de Fermat (1601 – 1665) est l’auteur de la plus célèbre conjecture des mathématiques :
« L’équation xn + yn = zn n’a pas de solution entière avec x, y, z > 0 et n > 2 »
Fermat prétendait en détenir une preuve étonnante, mais il inscrivit dans la marge d’un ouvrage de Diophante d'Alexandrie ne pas avoir assez de place pour la rédiger !
Il a fallu attendre trois siècles et demi pour qu’en 1995, un anglais, Andrew Wiles, en vienne à bout et empoche récompenses et célébrité.
Les contributions de Fermat sont cependant importantes, en particulier le Petit théorème de Fermat qu’il cite en 1640 dans l’une de ses lettres mais ne le démontre pas. Les 1res preuves sont de Leibniz et Euler.
Démonstration
Théorème Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors : 𝑎𝑝−1≡ 1[𝑝], dit autrement : 𝑎𝑝−1− 1 est divisible par 𝑝.
9
https://maths-stcyr.jimdo.com/ Chapitre 4 PGCD et nombres premiers
Exemples 1) 13 est 1er et 4 n’est pas divisible par 13 donc 412≡ 1[13].
2) pour tout entier naturel 𝑛, 7 divise 36𝑛− 1.
7 est un nombre premier et 7 est premier avec 3. Donc, d’après le petit théorème de Fermat, on a : 37–1≡ 1[7]puis 36≡ 1[7]
Soit encore : (36)𝑛≡ 1𝑛[7] ⇔ 36𝑛 ≡ 1[7] ⇔ 36𝑛− 1 ≡ 0[7]
Et donc, 7 divise 36𝑛− 1.
Démonstration
Exercice 3 Divisibilité de l’entier 4𝑛− 1 Partie A
Partie B
Soit 𝑝 un nombre 1er différent de 2.
Corollaire
Soit p un nombre premier et a un entier naturel Alors 𝑎𝑝− 𝑎 est divisible par p cad 𝑎𝑝≡ 𝑎[𝑝].
Corrigés des exercices Exercice 1
Remarque Ce dernier algorithme est appelé algorithme d’Euclide étendu.
Exercice 2 Méthode
1) Déterminer une solution particulière de (𝐸) en « remontant » l’algorithme d’Euclide.
2) Utiliser le théorème de Gauss pour déterminer l’écriture des couples (𝑢 ; 𝑣) solutions de (E).
3) Faire la réciproque : cad vérifier que ces couples sont effectivement solution de (E) 4) Conclure
11
https://maths-stcyr.jimdo.com/ Chapitre 4 PGCD et nombres premiers
Exercice 3 Partie A
Partie B
