PGCD Nombres premiers entre euxFractions irréductibles

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PGCD Nombres premiers entre euxFractions irréductibles

I) Multiples  diviseurs.

Définition n°1 :

Exemples :

 diviseurs de 8 :

 diviseur de 12 :

 diviseurs de 34 :

Remarque: Si

a

a

Définition n°2 :

Exemples :

 1, 2 et 4 sont des diviseurs communs à 8 et 12.

 Listes des diviseurs communs de 84 et 56 : 2, 4, 14, et 28.

Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b. Définition n°3 :

Exemples :

 Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est 4.

 PGCD(84 ;56)=28.

II) Recherche du PGCD à l’aide de l’Algorithme d’Euclide

Algorithme d’Euclide :

Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut appliquer la méthode illustrée par l’exemple suivant : Trouver le PGCD de 646 et de 697 :

On pose la division de 697(le plus grand) par 646 : ..donc 697=6461+51

On pose la division de 646 (diviseur précédent) par 51 (reste précédent) ..donc 646=5112+34, et donc 697=(5112+34)1+51=5113+341 On pose la division de 51 (diviseur précédent) par 34 (reste précédent)

..donc 51=341+17, donc 646=(341+17)12+34=3413+1712 et 697=(341+17)13+341=3414+1713 On pose la division de 34 (diviseur précédent) par 17 (reste précédent)

..donc 34=172+0, donc 646= 17213+1712=1738 et 697=17214+1713=1741

Le restant étant égale à 0 on a fini, et le PGCD est le dernier diviseur (ici 17).

( les divisions de 646 par 17 et de 697 par 17 tombent justes ).

Démonstration d’une partie de la validité de l’algorithme sur l’exemple : 17 est le plus grand diviseur de 17, donc 17 est le PGCD de 34 et 17 Si a est diviseur de b et de c, il est aussi diviseur de b+c, et de ub+vc 17 est donc diviseur de 34 et de 51 (car 51=217+17)

17 est donc diviseur de 51 et de 646 (car 646=31712+217) 17 est donc diviseur de 697 et de 646…

Il reste à démontrer que c’est le plus grand…

III) Nombres premiers entre eux.

Définition n°4 : Exemples :

 24 et 35 sont premiers eux : 35=241+11 ; 24=112+2 ; 11=25+1 ; 2=12+0, donc PGCD(24 ;35)=1.

 24 et 36 ne sont pas premiers entre eux : ils sont tous les deux divisibles par 3.

Un diviseur d’un nombre a est un nombre entier qui divise a (= la division euclidienne de a par ce nombre « tombe juste »)

Un diviseur commun à a et à b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.

Parmi les diviseurs communs à a et b, l’un d’eux est plus grand que les autres.

On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur : PGCD.

On le note : PGCD(a;b)

Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.

IV) Fractions irréductibles.

Définition n°5 :

Exemples : 18

7 est une fraction irréductible, 34

48 n’est pas une fraction irréductible (car

PGCD(48 ;34)ý1).

Pour rendre une fraction irréductible, on peut appliquer l’algorithme d’Euclide :

41 38 41 17

38 17 697

646 



 

Priopriété n°1 :

Une fraction est dite irréductible si le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1.

est irréductible si PGCD(a;b)=1

Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on obtient une fraction irréductible.

Si PGCD(a;b)=c, alors est irréductible