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ème−−−− PGCD −−−− Nombres premiers entre eux −−−− Fractions irréductibles
I) Multiples −−−− diviseurs.
Définition n°1:
Exemples :
• diviseurs de 8 :
• diviseur de 12 :
• diviseurs de 34 :
Remarque: Si a est multiple de b, alors best diviseur de a, et réciproquement.
Définition n°2:
Exemples :
• 1, 2 et 4 sont des diviseurs communs à 8 et 12.
• Listes des diviseurs communs de 84 et 56 : 2, 4, 14, et 28.
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b. Définition n°3 :
Exemples :
• Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est 4.
• PGCD(84 ;56)=28.
II) Recherche du PGCD à l’aide de l’Algorithme d’Euclide
Algorithme d’Euclide :
Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut appliquer la méthode illustrée par l’exemple suivant : Trouver le PGCD de 646 et de 697 :
On pose la division de 697(le plus grand) par 646 : ..donc 697=646××××1+51
On pose la division de 646 (diviseur précédent) par 51 (reste précédent) ..donc 646=51××××12+34, et donc 697=(51×12+34)×1+51=51××××13+34××××1 On pose la division de 51 (diviseur précédent) par 34 (reste précédent)
..donc 51=34××××1+17, donc 646=(34×1+17)×12+34=34××××13+17××××12 et 697=(34×1+17)×13+34×1=34××××14+17××××13 On pose la division de 34 (diviseur précédent) par 17 (reste précédent)
..donc 34=17××××2+0, donc 646= 17×2×13+17×12=17××××38 et 697=17×2×14+17×13=17××××41
Le restant étant égale à 0 on a fini, et le PGCD est le dernier diviseur (ici 17).
( les divisions de 646 par 17 et de 697 par 17 tombent justes ).
Démonstration d’une partie de la validité de l’algorithme sur l’exemple : 17 est le plus grand diviseur de 17, donc 17 est le PGCD de 34 et 17 Si a est diviseur de b et de c, il est aussi diviseur de b+c, et de ub+vc 17 est donc diviseur de 34 et de 51 (car 51=2×17+17)
17 est donc diviseur de 51 et de 646 (car 646=3×17×12+2×17) 17 est donc diviseur de 697 et de 646…
Il reste à démontrer que c’est le plus grand…
III) Nombres premiers entre eux.
Définition n°4 : Exemples :
• 24 et 35 sont premiers eux : 35=24×1+11 ; 24=11×2+2 ; 11=2×5+1 ; 2=1×2+0, donc PGCD(24 ;35)=1.
Un diviseur d’un nombre a est un nombre entier qui divise a (= la division euclidienne de a par ce nombre « tombe juste »)
Un diviseur commun à a et à b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.
Parmi les diviseurs communs à a et b, l’un d’eux est plus grand que les autres.
On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur : PGCD.
On le note : PGCD(a;b)
Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
• 24 et 36 ne sont pas premiers entre eux : ils sont tous les deux divisibles par 3.
IV) Fractions irréductibles.
Définition n°5 :
Exemples :
18
7 est une fraction irréductible,
34
48 n’est pas une fraction irréductible (car PGCD(48 ;34)
ý1).
Pour rendre une fraction irréductible, on peut appliquer l’algorithme d’Euclide :
41 38 41 17
38 17 697
646 =
×
= ×
Priopriété n°1 :
Une fraction est dite irréductible si le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1.
a
b est irréductible si PGCD(a;b)=1
Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on obtient une fraction irréductible.
Si PGCD(a;b)=c, alors a÷c
b÷c est irréductible
