PGCD. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX.
I. PGCD de deux entiers.
Pour tout entier relatif a, on notera D(a) l’ensemble des diviseurs de a.
Par exemple, D(6) = ……….
Pour tous entiers relatifs a et b, on notera D(a ;b) l’ensemble des diviseurs communs à a et b.
Par exemple, D(6 ; – 8) = …………..
Pour tout a de *, D(a ;0) = ... et D(a ;1) = ...
Exemple :
PGCD(6 ; – 8) = ……..
Remarques :
Soient a et b deux entiers non nuls : PGCD(a;b) > 0
PGCD(a ;b) = PGCD(b;a) = PGCD(a ;b). On se ramène donc en général au cas où a et b sont positifs.
PGCD(a ;b) ≤ a
PGCD(1 ;b) = 1 et PGCD(0 ;b) = b.
Si PGCD(a ;b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Si b est un diviseur positif de a, PGCD(a ;b) = b.
Démonstration :
Soient a, b et k des entiers relatifs.
II. Algorithme d’Euclide.
Propriété-Définition : Soient a et b deux entiers. D(a ;b) est une partie de non vide (car elle contient 1 et – 1) et finie (car tous ses éléments sont compris entre – a et a). Elle admet donc un plus grand élément. On l’appelle plus grand commun diviseur de a et b et on le note PGCD(a ;b).
Propriété(réduction du PGCD): Soient a et b deux entiers non nuls, soit k un entier : PGCD(a ;b) = PGCD(a – b;b) = PGCD(a – kb;b).
En particulier :
PGCD(a;b) = PGCD(r;b) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. (lemme d Euclide)
Soient a et b deux entiers tels que 0 < b ≤ a.
L’algorithme d’Euclide permet de calculer le PGCD de a et b : Tant que r > 0 :
Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b.
Remplacer a par b et b par r.
Afficher b.
Si b ne divise pas a, on dit que le PGCD(a ;b) est le dernier reste
non nul de l’algorithme.
Démonstration :
Soit d le PGCD de a et b.
On a a = bq
0+ r
0avec 0 ≤ r
0< b.
Si r
0= 0, b divise a et PGCD (a ;b) = b.
Si r
0≠ 0, d = PGCD(b ;r
0) d’après le 1.
On a alors : b =r
0q
1+ r
1avec 0 ≤ r
1< r
0. Si r
1= 0, d = r
0.
Si r
1≠ 0, d = PGCD(r
0;r
1) d’après le 1.
On a alors r
0= r
1q
2+ r
2avec 0 ≤ r
2< r
1. Si r
2= 0, d = r
1.
Si r
2≠ 0, d = PGCD(r
1;r
2) d’après le 1.
On continue ainsi. Les restes étant des entiers positifs de plus en plus petits, ils sont en nombre fini : il existe donc un reste nul et l’algorithme s’arrête forcément.
III. Nombres premiers entre eux.
Exemple : PGCD(100 ;150) = ...
Démonstration : Sens direct :
Sens réciproque :
Corollaire (admis) : Soient a et b deux entiers non tous les deux nuls.
Les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs de PGCD(a ;b).
Propriété (admise) : Soient a et b deux entiers non tous les deux nuls.
Pour tout k de *, PGCD(ka ;kb) = k PGCD(a ;b).
Conséquence : si k est un entier naturel non nul qui divise a et b, alors : PGCD(
ak
;
bk ) =
1
kPGC D(a ; b)
