NOMBRES
G RIPCASIO
TOUTES CALCULATRICES
CASIO
A = 3465 B = 1764
Q = 1 R = 1701
A = 1764 B = 1701
Q = 1 R = 63
A = 1701 B = 63
Q = 27 R = 0
PGCD - PPCM DE DEUX NOMBRES
Déterminer le PGCD et/ou le PPCM de deux nombres.
• PGCD de 2 nombres A et B: sa détermination se fera à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
• PPCM de 2 nombres A et B: on appliquera le résultat du cours PPCM (A,B) = A.B / PGCD (A,B).
Problème
Principe
1- Si b divise a, le PGCD de a et de b est b.
2- Si b ne divise pas a, on effectue la division euclidienne de a par b:
a = bq1 + r1 avec 0 < r1 < b D’après cette égalité, tout diviseur commun de a et de b est diviseur de b et de r1, et réciproquement.
Le PGCD de a et de b est donc celui de b et de r1.
Le problème proposé est donc remplacé par un problème plus simple, puisque r1 est inférieur à b et à a.
1’- Si r1 divise b, le PGCD de a et de b est r1. 2’- Si r1 ne divise pas b, on effectue la division euclidienne de b par r1:
b = r1q2 + r2 avec 0 < r2 < r1
1’’- Si r2 divise r1, le PGCD de a et de b est r2. 2’’- Si r2 ne divise pas r1, on réitère l’opération.
Les restes successifs forment une suite stricte- ment décroissante et l’on parvient à un reste rp+1 nul:
r1 = r2q3 + r3 avec 0 < r3 < r2
. . . . . . . . .
ri = ri+1qi+2 + ri+2 avec 0 < ri+2 < ri+1
. . . . . . . . .
rp-1 = rpqp+1 + rp+1 avec rp+1 = 0 Le PGCD de a et de b est alors le reste rp non nul, de la suite décroissante ci-dessus.
PGCD de deux nombres: On développe l’algorithme d’Euclide.
Soient a et b, deux nombres entiers strictement positifs, tels que a ≥ b.
Simulons cette démarche avec deux nombres 3465 et 1764.
Les deux nombres a et b prendront successivement et respectivement les valeurs de b et r1 , r1 et r2 ,
… , ri et ri+1 , jusqu’à ce que rp = 0 . Alors, le PGCD sera la dernière valeur prise par b.
Le PGCD de 3465 et 1764 est donc 63.
NOMBRES G RIP
CASIOPGCD - PPCM DE DEUX NOMBRES
Utilisation
On lance le programme.ClrText ClrTextClrText ClrText ClrTextäääää
"PGCD ~ PPCM"
"PGCD ~ PPCM""PGCD ~ PPCM"
"PGCD ~ PPCM"
"PGCD ~ PPCM"äääää
"A="?áA:AáX
"A="?áA:AáX"A="?áA:AáX
"A="?áA:AáX
"A="?áA:AáXäääää
"B="?áB:BáY
"B="?áB:BáY"B="?áB:BáY
"B="?áB:BáY
"B="?áB:BáYäääää Do
DoDo Do Doäääää
Int (A/B)áQ Int (A/B)áQInt (A/B)áQ Int (A/B)áQ Int (A/B)áQäääää A-BQáR
A-BQáRA-BQáR A-BQáR A-BQáRäääää BáA:RáB BáA:RáBBáA:RáB BáA:RáB BáA:RáBäääää LpWhile R¨0 LpWhile R¨0LpWhile R¨0 LpWhile R¨0 LpWhile R¨0
"PGCD=":Aª
"PGCD=":Aª"PGCD=":Aª
"PGCD=":Aª
"PGCD=":Aª
"PPCM=":XY§Aª
"PPCM=":XY§Aª"PPCM=":XY§Aª
"PPCM=":XY§Aª
"PPCM=":XY§Aª
"FIN"
"FIN""FIN"
"FIN"
"FIN"
PGCD-PCM
Nom du programme
Prog 1
N° du programme
'PGCD-PPCMä 'PGCD-PPCMä'PGCD-PPCMä 'PGCD-PPCMä'PGCD-PPCMä
"PGCD ~ PPCM"ä
"PGCD ~ PPCM"ä"PGCD ~ PPCM"ä
"PGCD ~ PPCM"ä"PGCD ~ PPCM"ä
"A="?ÊA:AÊXä
"A="?ÊA:AÊXä"A="?ÊA:AÊXä
"A="?ÊA:AÊXä"A="?ÊA:AÊXä
"B="?ÊB:BÊYä
"B="?ÊB:BÊYä"B="?ÊB:BÊYä
"B="?ÊB:BÊYä"B="?ÊB:BÊYä Lbl 2ä
Lbl 2äLbl 2ä Lbl 2äLbl 2ä
Int (A/B)ÊQä Int (A/B)ÊQäInt (A/B)ÊQä Int (A/B)ÊQäInt (A/B)ÊQä A-BQÊRä A-BQÊRäA-BQÊRä A-BQÊRäA-BQÊRä BÊA:RÊBä BÊA:RÊBäBÊA:RÊBä BÊA:RÊBäBÊA:RÊBä R
RR
RR≠0…Goto 2ä0…Goto 2ä0…Goto 2ä0…Goto 2ä0…Goto 2ä
"PGCD=":A¶
"PGCD=":A¶"PGCD=":A¶
"PGCD=":A¶"PGCD=":A¶
"PPCM=":XY/A¶
"PPCM=":XY/A¶"PPCM=":XY/A¶
"PPCM=":XY/A¶"PPCM=":XY/A¶
"FIN"
"FIN""FIN"
"FIN""FIN"
A N N
Calcul du PGCD
Calcul du PGCD
