Classe de terminale S Année scolaire 2007-2008
http://www.taye.fr Interrogation écrite n°2
Exercice 0
1) est un entier naturel. Prouvez que 2 1 et 3 2 sont premiers entre eux.
2) et sont premiers entre eux. Prouver que est premier avec et .
n a n b n
a b a b a b
= + = +
+
Exercice 1
3
3 1 3 2
1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , 2 1 est divisible par 7.
2) Déduisez-en que 2 2 est un multiple de 7 et que 2 4 est un multiple de 7.
3) Déterminer les restes de l
n
n n
n
+ +
−
− −
a division par 7 des puissances de 2.
Exercice 2
1) Déterminer les entiers naturels et tels que: a b a b+ =112 et PGCD a b( ; )=14.
2) Déterminer les entiers naturels et tels que a b a<b et: PGCD a b( ; )=18 et PPCM a b( ; )=108.
Exercice 3
1) Démontrer que, pour tout entier relatif , les entiers 14 3 et 5 1 sont premiers entre eux.
2) On considère l'équation ( ):87 31 2. où et sont des entiers relatifs.
a) Vérifier à l'aide de la
n n n
E x y x y
+ +
+ =
0 0
première question que 87 et 31 sont premiers entre eux.
b) Déduisez-en un couple ( ; ) d'entiers relatifs tels que: 87 31 1, puis un couple ( ; ) solution de ( ).
c) Déterminer l'ensemble des solut
u v u v
x y E
+ =
ions de ( ) dans 2.
3) Application: Trouver les points de la droite d'équation 87 31 2 0
dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est comprise entre 0 et 100.
E
x− y− = ℤ
Exercice 4
28 personnes participent à un repas gas-tronomique. Le prix normal est de 26 euros sauf pour les étudiants et les enfants qui paient respectivement 17 et 13 euros.
La somme totale recueillie est de 613 euros.
Calculer le nombre d'étudiants et d'enfant ayant participé au repas.
(On peut poser le nombre de convives, le nombre d'étudiants et le nombre d'enfants).x y z
Classe de terminale S Année scolaire 2007-2008
http://www.taye.fr Correction
Exercice 0
1) et sont premiers entre eux s'il existe des entiers u et v tels que: 1
, 3 2 (2 1) ( 1)
2 1 ( 1)
1 1 1
donc le gcd( ; ) gcd(2 1; 1) gcd( 1; ) 1 donc a et b sont premiers en
a b au bv
b a b n n n
n n n
n n
p a b p n n p n n
+ =
> = + = + + + + = + +
+ = × +
= + + = + =
tre eux.
2) si a et b sont premiers entre eux, alors gcd( ; ) 1
Comme 1 1 : gcd( ; ) gcd( ; ) gcd( ; ) 1.
p a b
a b a b b a alors p a b a p a b p a b b
=
+ = × + = × + + = = + =
Exercice1
3
3 3
3 3
1) notons la proposition: pour tout entier naturel n, 2 1 est divisible par 7 2 1 est divisible par 7 2 1 7 , avec .
Initialisation: si 1, on a 2 1 2 1 7.La proppriété est vrai pour 1.
S
n
n n
n
P
k k
n n
−
− ⇔ − = ∈
= − = − = =
ℕ
( )
( )
3
3( 1) 3 3 3 3 3
3( 1) 3
upposons que La proppriété est vraie pour pour un entier quelconque :2 1 7 Montrons quelle est vraie au rang 1:
2 1 2 2 1 2 7 1 1 2 1 7 2 1 7
2 1 2 7 1 1 8 7 7 7(8 1) 7 '
n
n n n n
n
n k
n
k car k k
k k k k
+ +
− = +
− = × − = + − − = ⇒ = +
− = + − = × − = − =
3 1 3 3 3 1
3 2 3 2 3 3 1
donc la propriété est vraie au rang 1, elle est vraie pour tout entier naturel.
2) 2 2 2 2 2 2(2 1) 2 7 7 '.Donc 2 2 est un multiple de 7.
2 4 2 2 4 4(2 1) 4 7 7 '.Donc 2 2
n n n n
n n n n
n
k k k k
+ +
+ +
+
− = × − = − = × = −
− = × − = − = × = −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
3 1 3 1 3 1
3 2 3 2
est un multiple de 7.
3) 2 1 7 2 1 0 7 2 1 7
2 2 7 2 2 0 7 2 2 7
2 4 0 7 2 4 7
Un entier naturel , s'écrit sous la forme: 3 , 3 1 3 2 Donc si 3 , le reste de la division de
n n n
n n n
n n
k k
p p n p n ou p n
p n
+ + +
+ +
− = ⇔ − ≡ ⇔ ≡
− = ⇔ − ≡ ⇔ ≡
− ≡ ⇔ ≡
= = + = +
= 2 par 7 est 1.
Donc si 3 1, le reste de la division de 2 par 7 est 2.
Donc si 3 2, le reste de la division de 2 par 7 est 4.
p p
p
p n p n
= +
= +
Exercice 2
1) Déterminons les entiers naturels et tels que: 112 et ( ; ) 14.
On pose: ' et ' avec ' et ' premiers entre eux.
112 14( ' ') 112 ' ' 8
Les couples ( '; ') solution sont (1; 7),
a b a b PGCD a b
a da b db a b
a b a b a b
a b
+ = =
= =
+ = ⇔ + = ⇔ + =
(3;5), (7;1) (5;3).
d'oùles couples ( , ) : (14;98), (42; 70), (98;14) (70; 42).
et
a b et
Classe de terminale S Année scolaire 2007-2008
http://www.taye.fr
2
2) Soient les entiers naturels et tels que et: ( ; ) 18 et ( ; ) 108.
si on pose ( ; ) 18 et ( ; ) 108.
D'après le cours, on a:
18 18
108 108
'
a b a b PGCD a b PPCM a b
d PGCD a b m PPCM a b m d a b
d d
m m
m d a b m d d a
< = =
= = = =
× = ×
= =
= ⇔ =
× = × × =
{ }
2
6
posant: ' et ', avec ' et ' premiers entre eux.
'
' ' 18 ' ' 108 ' ' 6
L'ensemble des diviseurs positifs de 6 est: 1, 2, 3, 6 . Sachant que , on a aussi ' '. Donc on a '
En a da b db a b
b
m d d a b a b a b
D
a b a b a
= =
×
× = × ⇔ × = ⇔ =
=
< < 1 ' 6, ' 2 ' 3.
d'ou les nombres et : 18 108 , 36 54 .
et b a et b
a b a et b a et b
= = = =
= = = =
Exercice 3
1) 14 3 2 (5 1) 4 1 gcd(14 3;5 1) gcd(5 1; 4 1)
5 1 1 (4 1) gcd(5 1; 4 1) gcd(4 1; )
4 1 4 1 gcd(4 1; ) 1
Donc gcd(14 3;5 1) gcd(4 1; ) 1.14 3 et 5 1 sont premiers entre eux.
2
n n n p n n p n n
n n n p n n p n n
n n p n n
p n n p n n n n
+ = × + + + ⇔ + + = + +
+ = × + + ⇒ + + = +
+ = × + ⇒ + =
+ + = + = + +
)a) Les nombres 87 et 31s'écrivent sous la forme 87 14 3 31 5 1, avec 6.
donc gcd(87;31) 1, ils sont premiers entre eux.
b) En appliquant l'algorithme d'Euclide:
87 2 31 25 25 87 2 31
31 1 25 6 6
n et n n
p
= × + = × + =
=
= × + ⇒ = − ×
= × + ⇒ =
( ) ( )
31 1 25
25 4 6 1 1 25 4 6
1 25 4 6 25 4 31 1 25 5 25 4 31 5 87 2 31 4 31;
après simplification, on obtient: 1 87 5 31 ( 14) ainsi 5 et 14.
87 5 31 14 1 87 10 31 28 2
' un couple solution de l'équa
u v
d où
− ×
= × + ⇒ = − ×
= − × = − × − × = × − × = × − × − ×
= × + × − = = −
× + × − = ⇔ × − × =
0 0
tion ( ) : 10 28.
87 31 2
c) On a : En soustrayant ces deux égalités, on obtient:
87 10 31 28 2
87( 10) 31( 28) 0 87( 10) 31( 28).
31 divise 87( 10),87 et 31 sont premiers entre eux, d
E x et y
x y
x y x y
x
= = −
× + × =
× + × − =
− + + = ⇔ − = − −
− 'après le théorème de Gauss, 31 divise 10.
Il existe donc un entier relatif tel que: 10 31 31 10 .
En remplaçant x par sa valeur on obtient y: 87( 10) 31( 28) 87 31 31( 28) d'où: 28 87
x
k x k x k
x y k y
y
−
− = ⇔ = +
− = − − ⇔ × = − −
− − =
( )
87 28 .
Les solutions de l'équation (E) sont les couples: 31 10; 87 28 , avec .
k y k
k k k
⇔ = − −
+ − − ∈ℤ
Classe de terminale S Année scolaire 2007-2008
http://www.taye.fr
( ) ( )
3) Application:
Les coordonnées des points de la droite d'équation 87 31 2 0
sont les couples ( ; ) solutions de l'équation 87 31 2 avec , des entiers naturels et 0 100.
87 31 2
87 10 31 28 2
x y
x y x y x y x
x y
− − =
− = ≤ ≤
− =
× − = 87( 10) 31( 28)
En appliquant le raisonnement précédent, on obtient: 31 10 87 28
Donc 0 31 10 100 0, 32 2, 9 0, 1 2
D'où les couples correspondants: (10, 28); (41,115) et (72, 202).
x y
x k et y k
x k k k k ou k
⇔ − = −
= + = +
≤ = + ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ = = =
Exercice 4
On pose le nombre de convives, le nombre d'étudiants et le nombre d'enfants:
Le problème revient à resoudre le système: 28
26 17 13 613
28 ce qui revie
26(28 ) 17 13 613
x y z
x y z
x y z
x y z
y z y z
+ + =
+ + =
= − −
⇔
− − + + =
nt donc à résoudre l'équation: 9 13 115
En appliquant l'algorithme d'euclide à 13 et 9, on trouve une solution particulière à l'équation 9 13 1 a pour solution particulière le couple (3, 2).
on en dé
y z
y z
+ =
+ = −
duit une solution de l'équation 9 13 115 : (345, 230).
9 13 115
9( 345) 13( 230).
9(345) 13( 230) 115
9 divise 13( 230) et 9 et 13 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss permet de conclu
y z
y z
y z
z
+ = −
+ =
⇔ − = − +
+ − =
− + re que
9 divise 230 donc il existe un entier tel que: 230 9 9 230
En remplaçant dans 9( 345) 13( 230), :9( 345) 13 9 345 13 .
Comme 0 et 0, on trouve 26.
ainsi, 7, 4 et 17 .
z k z k z k
y z on a y k y k
y z k
y z x
+ + = ⇒ = −
− = − + − = − × ⇔ = −
≥ ≥ =
= = =
