1`ere 11 DM 4 9 d´ecembre 2014
Exercice 1
Lors d’un jeu, Marc doit r´epondre `a la question suivante :Au d´epart nous vous donnons 100 euros. Nous vous offrons chaque jour 5% de plus que la veille plus une somme fixe de 20 euros. Au bout de combien de jours aurez-vous la somme totale de 10000 euros ? .
Nous allons aider Marc `a r´epondre `a cette question.
(1) Pour tout entier naturel n, on note un le montant en euro obtenu par Marc le ni`eme jour. Ainsi u0 = 100.
a. Calculeru1.
b. Justifier que pour tout entiern non nul, on a un+1 = 1,05un+ 20.
(2) On d´efinit la suite (vn) parvn=un+ 400.
a. D´emontrer que la suite (vn) est une suite g´eom´etrique et pr´eciser sa raison.
b. Exprimer vn en fonction den, puis en d´eduire queun = 500×1,05n−400.
(3) On va maintenant ´etudier la somme obtenue par Marc au bout de n jours : a. D´eterminer en fonction de n la somme 500 + 500×1,051+· · ·+ 500×1,05n. b. Justifier queu0+u1+· · ·+un = 10000×(1,05n+1−1)−400(n+ 1).
c. Utiliser votre calculatrice pour r´esoudre le probl`eme de Marc.
(4) Une autre solution serait d’utiliser un algorithme
On rappelle dans cet exercice qu’une boucle while ou tant que provoque la r´ep´etition de l’ex´ecution des instructions jusqu’`a ce que la condition ne soit plus v´erifi´ee.
On propose l’algorithme suivant : V a r i a b l e s :
u , i , S , N I n i t i a l i s a t i o n :
Mettre 100 dans u Mettre u dans S Mettre 0 dans i T r a i t e m e n t :
t a n t que u < 200
u prend l a v a l e u r 1 , 0 5 ∗ u + 20 S prend l a v a l e u r S + u
i = i + 1 A f f i c h e r S Fin t a n t que
(1) Recopier et compl´eter autant que n´ecessaire le tableau suivant.
Valeur de i 0 1 . . . . Valeur de u 100 . . . . Valeur de S 100 . . . . (2) En d´eduire l’affichage de l’algorithme une fois ex´ecut´e.
(3) Modifier cet algorithme pour qu’il r´eponde `a la question pos´ee.
(4) V´erifier que l’on obtient bien la mˆeme valeur que dans la question 2.
