1. La somme d’une suite convergente et d’une suite divergente est une suite divergente.

Exercices sur les suites numériques

1 Pour démarrer

Exercice 1 (Un vrai-faux) Justifier vos réponses.

1. La somme d’une suite convergente et d’une suite divergente est une suite divergente.

2. La somme de deux suites divergentes est divergente.

3. Le quotient de deux suites convergentes est convergente.

4. Une suite qui diverge est non bornée.

5. Une suite strictement croissante tend nécessairement vers + ∞ .

6. Une suite qui tend vers + ∞ est nécessairement croissante à partir d’un certain rang.

Exercice 2 Soit u une suite négligeable devant une suite v . 1. Démontrer que u n + v n ₊ ∼

∞ v n . 2. En déduire un équivalent simple de

3 + e ^1/n − _n ⁶ 3n ⁵ + e ⁿ

Exercice 3 (Un peu de technique) Étudier les limites des suites définies par : 1. u n = ^sin(n _n

⁾ 2. u n = _5n

+cos ⁿ

⁺⁵ⁿ n+

3. u n = 1 − _n ^{1 n} .

4. u n = n + 1 + cos n ² 5. u n = √

n ² + n − √

n ² − n 6. u n = ¹ ₄ + ¹ ₈ + ₁₆ ¹ + · · · + ₂ ¹

.

Exercice 4 (Sommes de termes positifs) Paul m’a dit : «en ajoutant indéfiniment des nombres positifs, on obtient des sommes aussi grandes que l’on veut».

1. L’affirmation de Paul est-elle vraie ?

Chloé m’a dit : «en ajoutant indéfiniment des nombres de plus en plus proches de 0, on ne peut pas obtenir de somme très grande». Voici un exemple, permettant de réfléchir à l’affirma- tion de Chloé.

2. On pose pour n > 1, S n = ^{√ 1} ₁ + ^{√ 1} ₂ + · · · + ^{√ 1} _n .

Démontrer que pour n > 1, on a S _n > √ n. En déduire la limite de la suite (S n ). L’affir- mation de Chloé est-elle vraie ?

Exercice 5 (Un produit convergent) On considère la suite u définie par u n = ^{Y n}

k=1

(1 + 1

2 ^k )

1. Démontrer que u est majorée. En déduire que u converge.

2. Programmer ensuite cette suite, pour en obtenir une valeur approchée.

Exercice 6 (Apprendre à encadrer) Déterminer à l’aide d’encadrements, la limite de la suite u définie par :

1. u n = _n ¹

P _n

k=1 ⌊ kx ⌋ avec x un réel

2. u n = ^√ _n ¹

+1 + ^√ _n ²

+2 + · · · + ^√ _n ⁿ

+n (on pourra d’abord donner une valeur approchée de u 1 , u 2 et u 3 ).

Exercice 7 (Étude d’une somme télescopique) Déterminer la limite de S _n =

X n k=2

1 k ² − 1

On pourra décomposer en éléments simples la fraction rationnelle _X

¹

− 1 .

Exercice 8 (Cette série de Riemann converge) Pour n > 1, on pose s n = ^{X n}

k=1

1 k ² .

1. Demander la limite de s n à votre calculatrice. Nous démontrerons ce joli résultat un peu plus tard.

2. Déterminer la monotonie de (s n ).

3. Montrer que pour tout entier k > 2, on a : 1

k ² 6 1

k − 1 − 1 k . En déduire que (s n ) est majorée.

4. Montrer que (s n ) converge, donner un majorant de sa limite.

Exercice 9 (Constante d’Euler) Pour n > 1, on pose H _n =

X n k=1

1

k et on note u et v les suites de terme général u _n = H _n − ln n et v _n = u _n − _n ¹ .

1. Montrer que pour n > 1, on a _n+1 ¹ 6 ln(n + 1) − ln n 6 _n ¹ (on pourra écrire ln(n + 1) − ln n à l’aide d’une intégrale).

2. Montrer que les suites u et v sont adjacentes. On note γ leur limite commune, on l’appelle la constante d’Euler ¹ .

3. Justifier que pour tout n > 1, | u _n − γ | 6 ¹

n .

4. En déduire une valeur approchée de γ à 10 ^{− 3} près.

5. Retrouver ainsi un équivalent simple de H n .

1. On ne sait toujours pas si la constante d’Euler est un nombre irrationnel

6. En déduire la limite de H 2n − H n .

Exercice 10 (Une série alternée) On pose pour n ∈ N ∗ , S _n = ^{X n}

k=1

( − 1) ^k

√ k .

1. Démontrer que la suite (S 2n ) n est décroissante.

2. Démontrer que les suites (S 2n ) n et (S 2n+1 ) n sont adjacentes.

3. En déduire que la suite (S n ) converge vers un réel l dont on donnera une valeur approchée à 10 ^{− 2} près.

Exercice 11 (a ⁿ négligeable devant n! qui est négligeable devant n ⁿ ) Soit a > 0. On pose u n = ^a _n!

.

1. (a) Écrire u n comme un produit de n termes à l’aide du symbole ^{Q n} _k=1 . (b) Justifier l’existence d’un entier N tel que ∀ k > N, a

k 6 1 2 . (c) En déduire que lim a ⁿ

n! = 0.

2. Démontrer aussi que lim n!

n ⁿ = 0. On note alors a ⁿ = o(n!) et n! = o(n ⁿ ).

Exercice 12 (Une suite définie implicitement) Soit n ∈ N , on pose f n (x) = x ³ + nx − 1.

1. Démontrer que pour tout n ∈ N , il existe un unique réel u n vérifiant u ³ _n + nu n = 1.

2. Démontrer que la suite u est monotone (on pourra considérer f n+1 (u n )) puis étudier sa convergence.

3. Déterminer un équivalent simple de u _n .

2 Un peu plus raffiné

Exercice 13 (Bien choisir ε) Soit u une suite qui converge vers l.

1. Démontrer que si l > 1, on a

∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , u n > 1.

2. Si l > 1, a-t-on ∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , u n > 1 ? Exercice 14 (Suites d’entiers convergentes)

1. Démontrer que si une suite u converge, alors

∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , | u n+1 − u n | 6 1

2 .

2. En déduire qu’une suite d’entiers convergente est nécessairement stationnaire.

3. Culturel : on note a n désigne la n-ième décimale de √ 2.

(a) Quelle est la nature de la suite (a n ) ?

(b) Quelle est la limite de la suite de terme général

X n k=1

a _k 10 ^{− k} ?

Exercice 15 Soit u une suite de réels strictement positifs telle que lim ^u _u

= ² ₉ . 1. Démontrer que ∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , u n+1 6 ^u ₃

.

2. En déduire que la suite u converge vers 0.

Exercice 16 Soit u une suite réelle et v la suite définie par v n = _1+u ^u

. 1. Démontrer que la suite v est bornée.

2. On suppose que u est bornée et que v converge vers 0. Démontrer que u converge vers 0.

3 Utilisation de suites extraites

Exercice 17 Démontrer que la suite de terme général sin ⁿ

₃ ^π diverge.

Exercice 18 (Bien extraire) Soit (u n ) une suite réelle. On suppose que les suites extraites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) convergent vers respectivement l 1 , l 2 et l 3 .

1. Déterminer une suite extraite de (u 2n ) et de (u 3n ). Que peut-on en déduire ? 2. Démontrer que la suite (u n ) est convergente.

Exercice 19 (Encore extraire) Soit (u n ) une suite réelle et (u φ(n) ) une suite extraite de (u n ).

1. Montrer que toute suite extraite de (u φ(n) ) est une suite extraite de (u n ).

2. Les suites u _{3 × 2}

u ₂

sont-elles extraites des suites u _2n , u _3n et u _6n ? Exercice 20 (Divergence de cos n)

1. Démontrer que pour n ∈ N , on a

cos(n + 1) + cos(n − 1) = 2 cos(n) cos(1).

2. En déduire que si cos n tend vers un réel l, alors l = 0.

3. Conclure à une absurdité en utilisant la formule de duplication du cosinus (expression de cos 2n à l’aide cos n).

Nous proposons une deuxième méthode.

4. Déterminer une infinité d’entiers naturels n tels que cos n > ¹ ₂ . En déduire qu’il existe une extractrice φ telle que

∀ n ∈ N , cos(φ(n)) > 1 2 . 5. Démontrer de même qu’il existe une extractrice σ telle que

∀ n ∈ N , cos(σ(n)) 6 − 1 2 . En déduire que cos n diverge.

4 Suites récurrentes

Exercice 21 On désire étudier la suite définie par u n+1 = 1

6 (u ² _n + 8) et u 0 ∈ R ₊ . On note f la fonction définie par f(x) = ^x

₆ ⁺⁸ .

1. Donner sans détailler les calculs, le tableau de variation de f sur R ⁺ ainsi que le tableau du signe de f(x) − x sur R ⁺ .

2. On pose I = [0, 2] et on suppose que u 0 ∈ I. Justifier que ∀ n ∈ N , u n ∈ I, puis donner la monotonie de u et conclure.

3. Traiter le cas où I =]2, 4[ et u 0 ∈ I. Et si u 0 = 4 ? 4. Traiter le cas où I =]4, + ∞ [ et u 0 ∈ I .

Exercice 22 (Un résultat général) Soit f : I → I et u la suite définie par u _n+1 = f(u n ) et u 0 ∈ I.

1. Démontrer que si la fonction f est croissante, alors la suite u est monotone.

2. En déduire la nature de la suite u définie par u 0 = 1 et pour n ∈ N , u n+1 = √ 1 + u n . 3. On suppose que f est décroissante. A-t-on u monotone ?

Exercice 23 On considère la suite u définie par

u n =

s

2 +

r

2 + ^q 2 + · · · + √ 2

| {z }

n termes

.

Calculer u 51 puis étudier la suite u.

Exercice 24 (Sinus itéré) On considère la suite définie par u n+1 = sin(u n ) et u 0 ∈ [0, ^π ₂ ].

1. Prenez une calculatrice, et avec u 0 = 1 par exemple «itérer le sinus». Que remarque-t-on ? 2. Démontrer que l’équation sin x = x admet une unique solution dans [0, ^π ₂ ].

3. Démontrer que pour tout n ∈ N , u n ∈ [0, ^π ₂ ].

4. Démontrer que la suite u converge, préciser la limite.

Exercice 25 Le but de l’exercice est d’étudier la suite définie par u _n+1 = _1+u ²

n

et u ₀ = 2. On note

f : x 7→ 2 1 + x ² . 1. Justifier que pour tout n ∈ N , u n ∈ [0, 2].

2. Soit n ∈ N , le réel f ◦ f (u n ) est un terme de la suite u n . Lequel ?

3. Démontrer à l’aide d’une récurrence que les suites (u 2n ) n et (u 2n+1 ) n sont monotones de sens contraire en utilisant la question précédente et les variations de f sur [0, 2] ou à l’aide de l’exercice 22.

4. En déduire que les suites (u 2n ) n et (u 2n+1 ) n sont convergentes et préciser leur limite (on pourra chercher avec la calculatrice les points fixes de f ◦ f).

5. En déduire que la suite u est convergente, préciser sa limite.

Exercice 26 (Racines carrées) Soit u la suite définie par u n+1 = ¹ ₂ (u n + _u ²

) et u 0 = 2.

1. Montrer que la suite est bien définie et que pour tout n ∈ N , u n > 1.

2. Montrer que u est convergente, on note l la limite.

Exercice 27 (Suite de Fibonnacci) On note (F n ) la suite de premiers termes F ₀ = 0, F ₁ = 1 puis définie par F n+1 = F n + F n − 1 .

1. Déterminer l’expression de F _n puis étudier sa monotonie et sa nature.

2. Donner un équivalent de F n en + ∞ , en déduire la limite de ^F _F

.

Exercice 28 Déterminer l’expression de la suite u définie par u 0 > 0, u 1 > 0, et pour n ∈ N , u n+2 = 1

u n+1 u n

.

5 Suites de nombres complexes

Exercice 29 Soit (z n ) la suite de nombres complexes définie par z n+1 = ^e

₂

z n de premier terme z ₀ ∈ C . Montrer que (z n ) converge.

Exercice 30 (Bolzano-Weierstrass complexe)

1. Soit u et v deux suites réelles bornées. Démontrer qu’il existe φ : N → N strictement croissante telle que les suites extraites (u φ(n) ) et (v φ(n) ) convergent.

2. En déduire que le théorème de Bolzano-Weierstrass est vrai pour les suites complexes.

Exercice 31 (Une suite simple mais bien complexe) Soit z un complexe. On étudie la

nature de la suite (z ⁿ ) n .

1. Déterminer sa limite lorsque | z | 6 = 1.

2. Soit α un réel. Montrer que si la suite de terme général v n = e ^inα converge alors α ∈ 2π Z (on pourra regarder ^v

_v

). Étudier la réciproque (on observera en particulier que la suite (e ⁱⁿ ) n est divergente).

Pour votre culture, on peut démontrer que si α est irrationnel, la suite de terme général e ^inα diverge mais en plus admet tous les points de S ¹ comme valeurs d’adhérence ! Voir devoir maison.

Exercice 32 (Étude d’une suite récurrente de nombres complexes) Soit (z n ) n ∈ N la suite de nombres complexes définie par z n+1 = z _n + | z _n |

2 pour n ∈ N et de premier terme z 0 ∈ C . 1. On suppose que z 0 ∈ R . Que vaut alors z n pour tout n > 1 ?

2. Démontrer que si z 0 ∈ / R , alors pour tout n ∈ N , z n ∈ / R .

On suppose jusqu’à la fin de l’exercice que z 0 ∈ / R . On note pour tout n ∈ N , r n le module de z n et θ n l’argument principal de z n .

3. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par les suites (r n ) et (θ n ), en déduire leur expression.

4. Un résultat utile pour la fin : soit θ ∈ ] − π, π[ \{ 0 } . Démontrer que

Y n k=1

cos θ 2 ^k

!

= sin θ 2 ⁿ sin ₂ ^θ

.

5. En déduire que la suite (z n ) converge vers un réel que l’on déterminera.

6 Pour aller vers les étoiles

Exercice 33 (Théorème de Cesàro) Soit (u n ) n > 1 une suite qui converge vers un réel l. On définit alors la suite (M n ) n > 1 par

M n = 1

n (u 1 + u 2 + · · · + u n ).

Le nombre M n est la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite (u n ).

1. On fixe ε > 0, montrer qu’il existe un rang n 0 tel que pour tout n > n 0 , on ait :

(u n

− l) + (u n

+1 − l) + · · · + (u n − l) n

6 ε

2 . 2. Montrer ensuite qu’il existe un rang n 1 tel que pour tout n > n 1 , on ait :

(u 1 − l) + (u 2 − l) + · · · + (u n

− 1 − l) n

6 ε

2 .

3. Conclure avec soin que si la suite (u n ) converge vers l, alors (M n ) converge aussi vers l (ce résultat porte le nom de théorème de Cesàro).

4. Montrer que la réciproque du théorème de Cesàro est fausse.

5. Application : soit (a n ) une suite asymptotiquement arithmétique, i.e. la suite de terme général a _n+1 − a _n converge vers un réel l. Montrer que la suite ^a _n

n converge aussi vers l (on dit aussi que a n est équivalent à nl lorsque n est au voisinage de + ∞ ).

Exercice 34 (Construire une extractrice par récurrence) Soit u une suite réelle et I une partie de R . Le but de l’exercice est de démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

Soit u une suite réelle et I une partie de R . Le but de cette section est de démontrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe une suite extraite (u φ(n) ) de u telle que : ∀ n ∈ N , u φ(n) ∈ I .

(ii) il existe une infinité d’indices n tels que u n ∈ I , c’est-à-dire A = { n ∈ N | u n ∈ I } est infini.

(iii) ∀ n 0 ∈ N , ∃ n > n 0 , u n ∈ I.

1. Démontrer que (i) = ⇒ (ii) et (ii) = ⇒ (iii).

2. On suppose que (iii) est vérifiée. Démontrer par récurrence sur n que la proposition suivante HR(n) est vraie pour tout n ∈ N :

HR(n) : il existe des entiers naturels φ(0), φ(1), · · · , φ(n) tels que φ(0) < φ(1) < · · · < φ(n), et ∀ k ∈ J0, nK, u φ(k) ∈ I.

En déduire (i).

3. En déduire la proposition suivante :

Les trois propositions suivantes sont équivalentes : (i) Il existe une suite extraite de u qui converge vers l.

(i) Pour tout ε > 0, il existe une infinité d’indices n tels que | u n − l | < ε.

(iii) ∀ ε > 0, ∀ n ₀ ∈ N , ∃ n > n ₀ , | u _n − l | 6 ε.

Lorsque l’une de ces conditions est réalisée, on dit que l est une valeur d’adhérence de u.

Exercice 35 (Points uniformément éloignés) Soit (z n ) une suite de points de C telle que :

∀ p, q ∈ N , p 6 = q = ⇒ | z p − z q | > 1.

Démontrer que lim | z n | = + ∞ . On pourra raisonner par l’absurde et construire une suite

bornée extraite de (z n ).