Chapitre II :PGCD - P.P.C.M
I- P.G.C.D. :
Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L'ensemble des diviseurs commun à a et à b admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur noté p.g.c.d.a ;b ou a∧b. Démonstration :
Remarque :
1. Si b|a alors a∧b=b. 2. a∧b∈ℕ*.
3. a∧b=∣a∣∧∣b∣. 4. a∧0=a.
Exemple : Déterminer 48∧18.
Théorème 1 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors il existe q et r tels que : a=b×qr avec 0rb et on a : a∧b=b∧r.
Démonstration :
Théorème 2 : ( Algorithme d'Euclide )
Soit a et b deux entiers naturels non nuls; on considère la suite d'entiers naturels rn définie par : r0=b
r1est le reste de la division euclidienne de a par b.
Si r1≠0 , r2 est le reste de la division euclidienne de b par r1. Si r2≠0, r3 est le reste de la division euclidienne de r1 par r2. ...
Si rn−1≠0 , rn est le reste de la division euclidienne de rn−2 par rn−1.
La suite rn des restes est finie et le dernier reste non nul est le p.g.c.d. de a et de b.
Démonstration :
Exemple : Déterminer 48∧18 .
Corollaire 1 : Les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs du p.g.c.d. de a et de b.
Démonstration :
Corollaire 2 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et k∈ℤ* alors ka∧kb=∣k∣a∧b. Démonstration :
Définition 2 : Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si leur p.g.c.d. est 1.
Exemple : Démontrer que 35 et 48 sont premiers entre eux.
Propriété 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. d=a∧b si, et seulement si,
il existe deux entiers relatifs a' et b' tels que : a=a ' d ;b=b ' d avec a '∧b '=1 . Démonstration :
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II- Théorème de Bézout :
Théorème 3 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tel que a ub v=1 . Démonstration et détermination de u et v dans le cas où a=48 et b=35 :
Théorème 4 : Soit a, b1 et b2 des entiers naturels non nuls. Si a∧b1=1 et a∧b2=1 alors a∧b1b2=1
Démonstration :
Théorème 5 : ( caractérisation du p.g.c.d. ) Soit a et b deux entiers naturels non nuls,
a∧b=d si, et seulement si, d|a, d|b et il existe deux entiers relatifs u et v tel que a ub v=d. Démonstration :
III - Théorème de Gauss :
Théorème 6 : Soit a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que a|bc. Si a∧b=1 alors a|c. Démonstration :
Corollaire 3 : Si un nombre premier p divise le produit ab de deux entiers naturels a et b, alors p|a ou p|b.
Démonstration :
Remarque : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si p divise an alors p divise a.
Corollaire 4 : Soit p un nombre premier qui divise le produit ab de deux nombres premiers a et b alors p=aou p=b.
Démonstration :
Corollaire 5 : Si deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux et divisent un entier c, alors ab|c.
Démonstration :
IV – Fractions irréductibles :
Définition 3 : Si a∧b=1 alors on dit que la fraction a
b est irréductible.
Théorème 7 : Toute fraction est égale à une fraction irréductible.
Démonstration :
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V – Petit théorème de Fermat :
Théorème 8 : Si p est un entier naturel premier avec deux entiers naturels a et b alors p est premier avec le produit ab.
Démonstration :
Théorème 9 : (Petit théorème de Fermat)
Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors ap−1≡1[p]. Démonstration :
Corollaire 6 : Soit p un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p alors a∧p=1 . Démonstration :
Corollaire 7 : Si p est un nombre premier alors ap≡a[p]
Démonstration : VI – P.P.C.M.:
Définition 4 : Le plus petit commun multiple de deux entiers naturels non nuls a et b est appelé P.P.C.M., noté p.p.c.m.(a , b) ou a∨b.
Démonstration de l'existence :
Théorème 10 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls alors 1. a∧ba∨b=ab.
2. Tout multiple commun à a et à b est un multiple de a∨b. Démonstration :
Utilisation de la décomposition en produit de nombres premiers pour la recherche de pgcd, de ppcm.
Soit a = 16632 et b = 540. Déterminer a∧b et a∨b.
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