Énoncé Notations
Le représentant irréductible d'un nombre rationnel x est une fraction
pqtelle que x =
pqavec p ∈ Z, q ∈ N
∗, p et q sans diviseur commun. On dira alors que p est le numérateur et q le dénominateur de x .
On convient que
01est le représentant irréductible de 0 et
11celui de 1 .
Si
pqet
pq00sont des représentants irréductibles de nombres rationnels, on dénit le médian de ces nombres (noté µ(
pq,
pq00) ) en posant
µ( p q , p
0q
0) = p + p
0q + q
0Question préliminaire
Montrer que
pq<
pq00entraine
pq< µ(
pq,
pq00) <
pq00Partie I. Médians et suites de Farey
Pour tout entier n , on dénit par récurrence un ensemble M
nde la manière suivante : M
0= {0, 1}
M
n+1s'obtient à partir de M
nen ajoutant le médian entre deux termes consé- cutifs.
Par exemple
M
1=
0, 1 2 , 1
On dénit aussi (pour tout entier n ) l'ensemble F
ndes rationnels écrits sous forme irré- ductible par :
p
q ∈ F
n⇔ 0 ≤ p ≤ q ≤ n
1. a. Préciser M
2, M
3, M
4et les 10 premiers éléments de M
5.
b. Dans chacune des listes précédentes, pour chaque M
icorrespondant, entourer les éléments de F
i−1.
c. Quel est le nombre d'éléments de M
n?
2. Soient
pq,
pq00,
pq0000des représentants irréductibles de nombres rationnels tels que p
0q − pq
0= 1 .
a. Montrer que
p q < p
00q
00< p
0q
0⇒ q + q
0≤ q
00b. Soit n ≥ max(q, q
0) , montrer que si
p q , p
0q
0∩ F
n= ∅
c'est à dire
pqet
pq00sont consécutifs dans F
n, alors p
q , p
0q
0∩ F
n+1⊂
µ( p q , p
0q
0)
3. Soit x < y deux éléments consécutifs de F
n+1. a. Montrer que x 6∈ F
net y 6∈ F
nest impossible.
b. Montrer que si x ∈ F
net y ∈ F
n+1, il existe alors z ∈ F
ntel que x et z soient consécutifs dans F
net y = µ(x, z) . Quels sont les autres cas possibles ?
4. Montrer la proposition suivante notée P
npour tout entier n ≥ 2 . Soit x < y deux éléments consécutifs de F
n:
il existe un entier i < n tel que x et y sont consécutifs dans M
ix =
pqet x =
pq00entraine p
0q − pq
0= 1
On peut remarquer que cela entraine F
n⊂ M
n−1. 5. Soient
pqet
pq00consécutifs dans F
n.
a. Montrer que
pqet
pq00sont consécutifs dans tous les F
rtels que max(q, q
0) ≤ r ≤ q + q
0− 1
b. Montrer que
p q , p
0q
0∩ F
q+q0=
µ( p q , p
0q
0)
6. Soient
pqet
pq00tels que p
0q − pq
0= 1 , montrer qu'ils sont consécutifs dans tous les F
rpour
max(q, q
0) ≤ r ≤ q + q
0− 1
Partie II. Cercles de Ford.
Soit C un cercle de centre C de coordonnées (x, y) et C
0un cercle de centre C
0de coor- données (x
0, y
0) . On pourra utiliser que C et C
0sont tangents si et seulement si CC
0= r + r
0c'est à dire
(x − x
0)
2+ (y − y
0)
2= (r + r
0)
2On s'intéresse aux cercles tangents à l'axe des x et situés au dessous de cet axe. Si u est l'abcisse du point de contact et si r est le rayon du cercle alors les coordonnées du centre sont (u, −r) .
On dira qu'un tel cercle est un cercle de Ford.
Plus particulièrement, si
pqest le représentant irréductible d'un nombre rationnel x , le cercle C
xest déni par son centre et son rayonle cercle de centre de coordonnées
centre C
x: p
q , − 1 q
2, rayon : 1 2q
2Dans cette partie,
pqet
pq00avec
pq<
pq00sont les représentants irréductibles de deux nombres rationnels.
1. Donner une condition nécessaire et susante assurant que C
pq
et C
p0q0
sont tangents.
2. Préciser les cercles de Ford tangents à C
pq
et C
p0q0
(donner les coordonnées du centre) 3. On suppose que C
pq
et C
p0q0
sont tangents, préciser le cercle de Ford tangent à C
pq
et C
p0 q0et dont le point de contact avec l'axe des x est entre
pqet
pq00. 4. Comment se présentent les cercles C
xpour x ∈ F
n?
Partie III. Approximation de Dirichlet
Soit x un nombre irrationnel et Q un entier naturel non nul. En considérant les approxi- mations par excès et par défaut de x dans F
Q, montrer qu'il existe un rationnel
aqtel que
q ≤ Q et
x − a q
≤ 1 q(Q + 1)
Corrigé
Dans tout le corrigé, les dénominateurs des fractions seront toujours des entiers naturels strictement positifs.
Question préliminaire
Pour montrer que le médian de deux nombres rationnels est entre ces deux nombres, calculons les diérences :
p + p
0q + q
0− p
q = p
0q − pq
0(q + q
0)q , p
0q
0− p + p
0q + q
0= p
0q − pq
0(q + q
0)q
0Elles sont strictement positives car
p
0q
0− p
q = p
0q − pq
0> 0
Partie I. Médians et suites de Farey
1. a. Les dénitions conduisent aux tuples
1suivants M
2F
3|{z}
: 0
|{z}
, 1 3
|{z}
, 1 2
|{z}
, 2 3
|{z}
, 1
|{z}
M
3F
4|{z}
: 0
|{z}
, 1 4
|{z}
, 1 3
|{z}
, 2 5 , 1
2
|{z}
, 3 5 , 2
3
|{z}
, 3 4
|{z}
, 1
|{z}
M
4F
5|{z}
: 0
|{z}
, 1 5
|{z}
, 1 4
|{z}
, 2 7 , 1
3
|{z}
, 3 8 , 2
5
|{z}
, 3 7 , 1
2
|{z}
, 4 7 , 3
5
|{z}
, 5 8 , 2
3
|{z}
, 5 7 , 3
4
|{z}
, · · ·
M
5F
6|{z}
: 0
|{z}
, 1 6
|{z}
, 1 5
|{z}
, 2 9 , 1
4
|{z}
, 3 11 , 2
7 , 3 10 , 1
3
|{z}
, · · ·
b. Dans les séquences précedentes, les éléments de F
i+1dans M
isont indiqués par un
|{z} .
c. On remarque que le nombre d'éléments de M
2est 5 = 2
2+ 1 . D'autre part, Nb d'élts de M
n+1= Nb d'élts de M
n+ Nb d'intervalles dans M
n=2 × Nb d'élts de M
n− 1
1suivant la terminologie du type d'objet Python
donc si, pour un certain n , Card (M
n) = 2
n+ 1, on a aussi Card (M
n+1) = 2(2
n+ 1) = 2
n+1− 1 Ceci prouve par récurrence que
∀n ∈ N : Card (M
n) = 2
n+ 1
2. a. Traduisons l'encadrement donné par hypothèse par des inégalités sur les numéra- teurs puis exploitons le fait que ces inégalités sont relatives à des nombres entiers.
Il vient
0 < p
00q − q
00p
0 < p
0q
00− p
00q
0soit
1 ≤ p
00q − q
00p 1 ≤ p
0q
00− p
00q
0En multipliant la première équation par q
0et la deuxième par q , on obtient q
0+ q ≤ (−pq
0+ p
0q)q
00On en déduit q
00≥ q +q
0car p
0q − pq
0est supposé égal à 1 dans toute la question.
b. Considérons, sous les hypothèses de la question, p
00et q
00tels que p
00q
00∈ p
q , p
0q
0∩ F
n+1Exploitons d'abord le fait que i
pq
,
pq00h ∩ F
n= ∅ . Comme
p+pq+q00et
pq0000sont dans i
p q
,
pq00h , il ne sont pas dans F
ndonc q + q
0> n et q
00> n .
Comme de plus
pq0000∈ F
n+1, on a obligatoirement q
00= n + 1 .
Utilisons ensuite la question a. Elle prouve que q
00≥ q + q
0. On en déduit alors que q + q
0= q
00= n + 1 .
Le médian
p+pq+q00et le nombre
pq0000=
q+qp000sont dans i
p q
,
pq00h . Si par exemple p
q < p
00q + q
0≤ p + p
0q + q
0alors
p + p
0q + q
0− p
00q + q
0≤ p + p
0q + q
0− p
q p + p
0− p
00q + q
0≤ p
0q − pq
0(q + q
0)q = 1 (q + q
0)q q(p + p
0− p
00) ≤ 1
La seule possibilité est p
00= p + p
0. Un calcul analogue dans le cas où
pq0000est de l'autre côté du médian achève de montrer que ce médian est le seul élément possible de F
n+1entre
pqet
pq00.
3. a. Supposons que x < y sont deux éléments consécutifs de F
n+1dont aucun n'est dans F
n. Il existe alors ds éléments consécutifs a < b de F
ntels que a < x < y < b . ceci est en contradiction avec la question 2.b. Entre deux éléments consécutifs de F
nun élément au plus de F
n+1peut s'intercaler (et c'est le médian).
b. Supposons x ∈ F
net y ∈ F
n+1. Considérons z consécutif à x dans F
n. Comme F
n⊂ F
n+1, x < z < y est impossible car sinon x et y ne seraient pas consécutifs dans F
n+1. On doit donc avoir x < y < z et donc, d'après 2.b., y = µ(x, z) . Les autres cas possibles sont :
x ∈ F
n+1et y ∈ F
n. Il existe alors un z ∈ F
ntel que z et y soient consécutifs dans F
net x est le médian de z et de y .
x et y sont consécutifs dans F
n. 4. La proposition P
nse montre par récurrence.
L'examen des listes formées à la question 1. permet de vérier à la main les propriétés P
2, P
3, P
4. On peut remarquer en particulier que M
2= F
3. Les inclusions F
i+1⊂ M
isont bien visibles. On remarque aussi que deux éléments consécutifs dans un F
ine le sont pas forcément dans le M
i−1qui le contient. Par exemple
14et
13sont consécutifs dans F
6mais pas dans M
5. En revanche, ils sont consécutifs dans M
3.
Montrons que P
nentraine P
n+1.
Considérons deux éléments quelconques x et y consécutifs dans F
n+1. S'ils sont tous les deux dans F
nles propriétés sont vériées à cause de P
n. Sinon, l'un des deux est un médian de deux éléments de F
n. Par exemple :
x = p
q < y = µ(x, z) < p
0q
0= z et ce uniquement lorsque q + q
0= n + 1 .
D'après une des propriétés de P
n, il existe un i < n tel que x et z soient consécutifs dans M
i. Ceci prouve que y ∈ M
i+1et que x et y sont consécutifs dans M
i+1. D'autre part, les éléments consécutifs
pq<
pq00de F
n+1qui le sont aussi dans F
nvérient p
0q − pq
0= 1 d'après P
n. Les autres sont de la forme
pq<
p+pq+q00ou
p+pq+q00<
pq00avec
p
q
<
pq00consécutifs dans F
n. Or
q(p + p
0) − p(q + q
0) = 1 = p
0(q + q
0) − q
0(p + p
0)
5. a. C'est une conséquence immédiate de 3.a et de la première partie de P
n.
b. D'après 5.a., i
pq
,
pq00h ∩ F
q+q0−1= ∅ d'après 3.b. i
pq
,
pq00h ∩ F
q+q0⊂ n
p+p0q+q0
o et il est évident que
p+pq+q00∈ i
p q
,
pq00h ∩ F
q+q0. 6. C'est une conséquence immédiate de 3.a.
Partie II. Cercles de Ford.
1. Les cercles C
pq
et C
p0q0
sont tangents lorsque p
q − p
0q
0 2+
1 2q
2− 1
2q
02 2= 1
2q
2+ 1 2q
02 2⇔ p
q − p
0q
0 2= 1 q
2q
02⇔ (pq
0− p
0q)
2= 1 ⇔ p
0q − pq
0= 1 car
pq<
pq00.
2. Soit (u, −r) les coordonnées du centre d'un cercle de Ford, il est tangent à C
pq
et C
p0 q0si et seulement si
pq
− u
2+
1 2q2
− r
2=
1 2q2
+ r
2 p0q0
− u
2+
1 2q02
− r
2=
1
2q02
+ r
2⇔
pq
− u
2=
2rq2 p0q0
− u
2=
q2r02Ceci entraîne que u est solution de l'équation du second degré q
2p q − u
2= q
02p
0q
0− u
2qui admet deux solutions u
ε, pour ε ∈ {−1, 1} : u
ε= p − εp
0q − εq
0Pour chaque u
εune seule valeur r
εest possible ;
p
q − u
ε= p
q − p − εp
0q − εq
0= ε(p
0q − pq
0) q(q − εq
0)
Fig. 1: Cercles de Ford
r
ε= (p
0q − pq
0)
22q(q − εq
0)
2On vérie facilement que les deux cercles de centre (u
ε, −r
ε) conviennent. On obtient donc deux cercles de Ford vériant les conditions demandées.
3. Lorsque C
pq
et C
p0q0
sont tangents, p
0q − pq
0= 1 , les centres des cercles tangents sont alors les points de coordonnées
( p − εp
0q − εq
0, 1
2(q − εq
0)
2) Le point de contact avec l'axe est
p−εpq−εq00.
Pour ε = −1 on retrouve le médian qui est bien entre
pqet
pq00. Pour ε = 1 on obtient
p−p0 q−q0
. Or
p − p
0q − q
0− p
0q
0= 1
q
0(q
0− q) , p
q − p − p
0q − q
0= 1 q(q
0− q)
ces deux nombres sont de meême signe donc
p−pq−q00est à l'extérieur de l'intervalle. Le cercle cherché est C
p+p0q+q0
