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Note sur le plus grand commun diviseur

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Academic year: 2022

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. L IONNET

Note sur le plus grand commun diviseur

Nouvelles annales de mathématiques 1

re

série, tome 10 (1851), p. 85-86

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1851_1_10__85_1>

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NOTE SUR LE PLUS G R A p .COMMUN DIVISEUR;

P A R 3V1. E . M^I\JL^I^MUJ.9 a

Professeur au lycée Louis-le-GranS*

Jtekàsuniveisutti Söofltung

THÉORÈME. Le nombre de divisions à faire pour trou- ver le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers A et B ne peut excéder trois fois le nombre des chiffres du plus petit B des deux nombres proposés.

Pour démontrer ce théorème, nous avons fait voir (*) qu'on pouvait supposer A et B premiers entre eux, et, en désignant par

B... D6, D5, D4, D3, D2, i

les nombres qui ont servi successivement de diviseur,

( * ) Nouvelles Annales de Mathématiques, t o m e IV, page 6 1 7 .

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nous avons prouvé qu'entre trois diviseurs consécutifs quelconques, D5, D4, D3 par exemple,, on avait la re- lation

D = ou > a D , -I-Di,

que nous allons démo ri lier d'une manière plus simple.

Le diviseur D4, étant le reste de la division de D6 par D5, est moindre que la moitié de D3, et, par suite, contenu au moins deux fois dans D5 -, donc, si D3 est le reste de la division ordinaire de J)o par D4, on aura

(1) D , = ou > 2 D/ ( -f-D,.

Dans le cas où D3 est le reste correspondant au quotient, pris par excès, de la division de Do par D4, si l'on nomme R le reste de la division ordinaire de Ds par D-,, on aura, comme précédemment,

(2) D;= ou > 2 D < + K ;

mais Ds étant moindre que la moitié de D4, R est plus grand que cette moitié, donc D3 <^ R , et, si l'on rem- ( 2 ) , on aura à plus forte raison Ia relation (ij, qui est ainsi demon tree, quel que soi t. le möde.ae division jçrui-a conduit au reste D

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