Chapitre V : Les nombres premiers
I- Définition et propriétés
Définition 1 : On dit qu’un nombre entier naturel est premier s’il, admet exactement deux diviseurs distincts et positifs : 1 et lui-même.
Exemples :
1) Le nombre 1 n’est pas premier : il n’a qu’un diviseur positif, 1.
2) Le plus petit entier premier est 2, c’est d’ailleurs le seul nombre premier pair.
3) Le nombre 17 est premier : il n’est divisible que par 1 et 17.
4) Le nombre 91 n’est pas premier : il est aussi divisible par 7 (et 13).
Propriété 1 : Soit un nombre entier naturel tel que ≥ 2.
Si n’est pas premier, alors il admet au moins un diviseur premier tel que 2 ≤ ≤ √.
Propriété 2 : Soit un nombre entier naturel tel que ≥ 2.
Si n’est divisible par aucun nombre premier tel que 2 ≤ ≤ √, alors est premier.
Remarque : Ce résultat correspond à la contraposée de la propriété 1. Il est très pratique pour démontrer qu’un nombre est premier en ne manipulant que très peu de diviseurs.
Exemple : Pour justifier que 131 est premier, on calcule tout d’abord √131 ≈ 11,4. Il suffit alors de tester la divisibilité par tous les entiers compris entre 1 et 11.
Or 131 est impair, il suffit de tester la divisibilité de 131 par 3, 5, 7, 9 et 11, ce qui est très rapide au vu des critères de divisibilité.
II- Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
Propriété 3 : Tout entier naturel tel que ≥ 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique (à l’ordre près des facteurs).
On note = × × … × où , , … sont des nombres premiers distincts et , , … , des entiers naturels non nuls.
Exemple : 19 800 =
Cas particulier : Les nombres décimaux s’écrivent sous la forme d’une fraction irréductible dont le dénominateur est une décomposition uniquement constituée des nombres premiers 2 et 5 : 7,395 =7 395
1 000=1 479
200 = 1 479
8 × 25= 1 479 2× 5
Propriété 4 : Soit un nombre entier naturel tel que ≥ 2 et = × × … × sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Tout diviseur de n admet une décomposition en produit de facteurs premiers de la forme
× × … × où , , … sont des nombres premiers distincts et , , … , des entiers naturels tels que, pour tout 1 ≤ ≤ !, 0 ≤ " ≤ ".
Exemple : 110 et 165 sont des diviseurs de 19 800 : 110 = et 165 = Propriété 5 : L’ensemble des nombres premiers est infini.
