LES NOMBRES PREMIERS. I.

LES NOMBRES PREMIERS.

I. Définition, exemples.

On dit qu’un entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Un entier naturel non premier différent de 1 est dit composé.

Exemples :

0 n’est pas premier car il a une infinité de diviseurs.

1 n’est pas premier car il a un seul diviseur.

2 est le seul entier pair premier.

3 ; 5 ; 7 ; 11 sont des nombres premiers.

Soit n 2 un entier. Le plus petit diviseur de n compris entre 2 et n est premier.

Démonstration : Voir activité

Conséquence : Tout entier naturel composé n admet un diviseur premier au plus égal à n . Démonstration :

Voir activité

Remarque : Ainsi, si n n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à n , alors n est premier.

Exemple : n 149

II. Une infinité de nombres premiers.

Théorème : Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration (Euclide ; 3

siècle avant J.C.) : Voir activité

III. Décomposition en facteurs premiers.

Théorème : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Alors n est premier ou se décompose en un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

Démonstration : (Gauss ; 1801 mais la propriété était déjà connue par Euclide)

 L unicité est admise.

 Existence : La propriété est vraie pour n 2 ; n 3 ; n 4 2 2

Supposons qu elle ne soit pas vraie pour tous les entiers et notons n le plus petit entier qui ne soit ni premier, ni produit de nombres premiers.

D après le I, n admet un diviseur premier p ; n n étant pas premier, p n . On a alors n kp avec k entier, et 2 k n

D après la définition de n, k est premier ou produit de nombres premiers.

Or n kp donc n est produit de nombres premiers. Contradiction !

Conclusion : tout entier supérieur ou égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers.

Exemple : Décomposer en produits de facteurs premiers 11 400.

Application : Voici un algorithme : Entrer N

Tant que N > 1

Tant que Int(N/D)=N/D Afficher D

N prend la valeur N/D Fin Tant que

D prend la valeur D + 1 Fin Tant que

Afficher " "

1. Quel affichage obtient-on si on entre N = 20 ? Que fait cet algorithme ?

2. Programmer ce programme sur votre calculatrice et entrer N = 12 584. Conclure.

IV. Diviseurs d un entier naturel non nul.

Théorème (admis) : Soit n un entier naturel dont la décomposition en facteurs premiers est p

p

... p

. Les diviseurs de n sont les entiers de la forme p

p

... p

avec 0

; 0

... 0

.

Exemple : Déterminer le nombre de diviseurs de n 360

Si a et b sont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, alors b divise a ssi tout facteur premier figurant dans la décomposition de b figure dans celle de a avec un exposant supérieur ou égal à celui qu’il a dans la décomposition de b.

Exemple : 2 ³  3²  5 divise 2 ⁴  3²  5 ³  7.

2

3

5

ne divise pas 2

3

5

Si des nombres premiers distincts divisent un entier naturel n, ce sont tous des facteurs de la décomposition en facteurs premiers de n et donc leur produit divise n.

Exemples : Si n est divisible par 2 ; 3 et 7, alors n est divisible par 2  3  7 = 42.