Corrigé du DS du 18/01/2019
Partie A
1. a. ݑଶ= 1; ݑଷ= 2; ݑସ= 3; ݑହ= 5; ݑ= 8; ݑ= 13; ݑ଼= 21; ݑଽ= 34 et ݑଵ= 55.
b. Il semble que deux termes consécutifs de cette suite sont premiers entre eux , autrement dit, il semble que le PGCD de ݑ et ݑାଵ est égal à 1 pour tout entier naturel ݊.
2. On définit la suite (ݒ) par ݒ= ݑଶ− ݑାଵ× ݑିଵ pour tout entier naturel ݊ non nul.
a. Pour tout entier naturel ݊ non nul,
ݒାଵ= ݑାଵଶ − ݑାଶ× ݑ= ݑାଵଶ − (ݑାଵ+ ݑ) × ݑ= ݑାଵଶ − ݑାଵ ݑ− ݑଶ
= ݑାଵ (ݑାଵ− ݑ) − ݑଶ
Or ݑାଵ= ݑ− ݑିଵ ainsi ݑାଵ− ݑ= ݑିଵ
Donc ݒାଵ= ݑାଵ ݑିଵ− ݑଶ= −ݑଶ+ ݑାଵ ݑିଵ= −ݒ
b. Ainsi la suite (ݒ) est géométrique de raison −1 et de premier terme ݒଵ= ݑଵଶ− ݑଶ× ݑ= 1ଶ− 1 × 0 = 1
On en déduit que, pour tout entier naturel ݊ non nul, ݒ= ݒଵ× (−1)ିଵ= (−1)ିଵ Et donc : ݑଶ− ݑାଵ× ݑିଵ= (−1)ିଵ.
c. Si ݊ est pair, (−1)ିଵ= −1 et ݑଶ− ݑାଵ× ݑିଵ= −1 ⇔ −ݑଶ+ ݑାଵ× ݑିଵ= 1
⇔ ݑ× (−ݑᇣᇤᇥ)
௨∈ℤ
+ ݑାଵ× ݑถିଵ
௩∈ℤ
= 1 Si ݊ est impair, (−1)ିଵ= 1 et ݑଶ− ݑାଵ× ݑିଵ= 1 ⇔ ݑ× ݑด
௨∈ℤ
+ ݑାଵ× (−ݑᇣᇧᇤᇧᇥିଵ)
௩∈ℤ
= 1 Les termes de la suite sont supposés entiers, les coefficients des combinaisons linéaires précédentes sont donc des entiers :
D’après le théorème de Bézout, le PGCD de ݑ et ݑାଵ est égal à 1 pour tout entier non nul.
Remarque : le cas ݊ = 0 est immédiat car le PGCD de 0 et 1 vaut 1.
Partie B
On considère la matrice ܨ = ቀ1 11 0ቁ 1. ܨଶ= ቀ2 11 1ቁ et ܨଷ= ቀ3 22 1ቁ.
2. Initialisation : ܨଵ= ܨ = ቀ1 11 0ቁ = ቀݑଶ ݑଵ
ݑଵ ݑቁ : L’égalité est vraie au rang 1.
Hérédité :
Supposons que ܨ= ቀݑାଵ ݑ
ݑ ݑିଵቁ pour un certain rang ݊ et montrons que ܨାଵ= ቀݑାଶ ݑାଵ ݑାଵ ݑ ቁ ܨାଵ= ܨ× ܨ = ቀݑାଵ ݑ
ݑ ݑିଵቁ ቀ1 11 0ቁ = ቀݑାଵ+ ݑ ݑାଵ
ݑ+ ݑିଵ ݑ ቁ = ቀݑାଶ ݑାଵ
ݑାଵ ݑ ቁ On en déduit que, pour tout entier naturel ݊ non nul, ܨ= ቀݑାଵ ݑ
ݑ ݑିଵቁ
3. a. Soit ݊ un entier naturel non nul.
En remarquant que ܨଶାଶ= ܨାଶ× ܨ, on en déduit que : ቀݑଶାଷ ݑଶାଶ
ݑଶାଶ ݑଶାଵቁ = ቀݑାଷ ݑାଶ
ݑାଶ ݑାଵቁ ቀݑାଵ ݑ ݑ ݑିଵቁ
⇔ ൬ݑଶାଷ ݑଶାଶ
࢛ା ݑଶାଵ൰ = ቆݑାଷ× ݑାଵ+ ݑାଶ× ݑ ݑାଷ× ݑ+ ݑାଶ× ݑିଵ
࢛ା× ࢛ା+ ࢛ା× ࢛ ݑାଶ× ݑ+ ݑାଵ× ݑିଵቇ Ainsi, en égalisant les coefficients de la 2ème ligne et 1ère colonne :
ݑଶାଶ= ݑାଶ× ݑାଵ+ ݑାଵ× ݑ b. On en déduit que, pour tout entier naturel ݊ non nul,
ݑଶାଶ= (ݑାଶ+ ݑ) × ݑାଵ= (ݑାଶ+ ݑ) × (ݑାଶ− ݑ) = ݑାଶଶ − ݑଶ 4. On donne ݑଵଶ= 144.
ݑଶାଶ= ݑାଶଶ − ݑଶ ⇔ ݑାଶଶ = ݑଶାଶ+ ݑଶ
On considère que ݑଵଶ aura le rôle de ݑଶାଶ dans l’égalité.
144 étant le carré de 12, l’égalité correspond bien à une situation de Pythagore.
2݊ + 2 = 12 ⇔ ݊ = 5.
Ainsi, ݑଶ= 144 + ݑହଶ= 12ଶ+ ݑହଶ
Enfin, 13ଶ= 12ଶ+ 5ଶ d’après les premiers termes calculés en début d’exercice.
Les longueurs des côtés sont, 5, 12 et 13 d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
