n°31 p132 1) f semble continue sur [–3;1] et sur ]1;2] 2) g semble continue sur [–3;6] 3) h semble continue sur

n°31 p132

1) f semble continue sur [–3;1] et sur ]1;2]

2) g semble continue sur [–3;6]

3) h semble continue sur ℝ . 4) k semble continue sur [n;n+1[

n°32 p132

2) La fonction f n'est pas continue sur r d'après le graphique on le vérifie par le calcul de limite

lim

x→–1 x<–1

f ₍x₎ = lim

x→–1 x<–1

3+x = 2

lim

x→–1 x>–1

f ₍x₎ = lim

x→–1 x>–1

x²+x = 0

Donc les limites sont différentes et la fonction f n'est pas continue en –1

n°58 p135

On veut la fonction f continue sur r donc on calcule deux limites : lim

x→3 x_>3

f ₍x₎ = lim

x→3 x>3

e^x+x+k = ^e3+3+k = f(3) lim

x_→3 x<3

f ₍x₎ = lim

x→3 x<3

−2x+4 = −2

Pour que f soit continue en 3, on doit donc avoir e³+3+k₌₋₂ c'est à dire k_=−5−e³ n°59 p135

1) lim

x_→−3 x<−3

f ₍x₎ = lim

x→−3 x<−3

x+9 = 6 et lim

x_→−3 x>−3

f ₍x₎ = lim

x→−3 x>−3

3−x = 6 = f(-3) Ces limites sont égales donc la fonction est continue en –3

2) Retour à la définition d'une fonction dérivable en a : on calcule : lim

h→0

f ₍a₊h₎₋f ₍a₎ h

La nuance ici est qu'il faut calculer cette limite à droite et à gauche de –3 , on parle donc de dérivabilité à droite et à gauche :

pour x < -3 , f (−3+h)−f (−3)

h = −3+h+9−6

h = 1 donc la limite à gauche vaut 1 pour x > –3 , f (−3+h)−f (−3)

h = 3−(−3+h)−6

h = –1 donc la limite à droite est –1 La fonction f n'est donc pas dérivable en –3 car les deux limites ne sont pas égales

3) Graphiquement , la continuité en –3 signifie que l'on peut tracer la courbe de la fonction sans lever le crayon mais la non dérivabilité signifie que l'angle d'arrivée à gauche en –3 n'est pas le même que celui à droite : on arrive à gauche selon une direction de coef directeur 1 et on repart à droite selon une direction de coef directeur 1

Exercice 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un élément de I Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :

1) Si f est dérivable en a alors f est continue en a 2) Si f est continue en a alors f est dérivable en a

Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur [0;4] par f(x)=x²−⌊x⌋ où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x 1) A l'aide de la calculatrice, tracer une représentation de f

2) la fonction f est-elle continue sur [0;4] ? sinon indiquer pour quelle valeur elle n'est pas continue ?

3) Démontrer que f n'est pas continue en 3

4) Soit g la fonction définie par g(x)=(x−3)(x²−⌊x⌋) Démontrer que g est continue en 3.