TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 27/04/2018 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
L’utilisation de la réflexion est recommandée.
Partie A : Préliminaires
1. a. Soient ݊ et ܰ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : ݊ଶ ≡ ܰ − 1 ݉݀ݑ݈ ܰ. Montrer que : ݊ × ݊ଷ ≡ 1 ݉݀ݑ݈ ܰ.
b. Déduire de la question précédente un entier ݇ଵ tel que : 5݇ଵ ≡ 1 ݉݀ݑ݈ 26 . On admettra que l’unique entier ݇ tel que : 0 ≤ ݇ ≤ 25 et 5݇ ≡ 1 ݉݀ݑ݈ 26 vaut 21.
2. On donne les matrices : ܣ = ቀ4 13 2ቁ , ܤ = ቀ 2 −1−3 4 ቁ , ܺ = ቀݔଵ
ݔଶቁ et ܻ = ቀݕଵ ݕଶቁ. a. Calculer la matrice 6ܣ − ܣଶ.
b. En déduire que ܣ est inversible et que sa matrice inverse, notée ܣିଵ, peut s’écrire sous la forme ܣିଵ= ߙܫ + ߚܣ, ou ߙ et ߚ sont deux réels que l’on déterminera.
c. Vérifier que : ܤ = 5ܣିଵ.
d. Démontrer que si ܣܺ = ܻ, alors 5ܺ = ܤܻ.
Partie B : Procédure de codage
Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.
• Le mot à coder est remplacé par la matrice ܺ = ቀݔଵ
ݔଶቁ, où ݔଵ est l’entier représentant la première lettre du mot et ݔଶ l’entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
• La matrice X est transformée en la matrice ܻ = ቀݕଵ
ݕଶቁ telle que : ܻ = ܣܺ.
• La matrice Y est transformée en la matrice ܴ = ቀݎଵ
ݎଶቁ, où ݎଵest le reste de la division euclidienne de ݕଵ par 26 et ݎଶ le reste de la division euclidienne de ݕଶ par 26.
• Les entiers ݎଵ et ݎଶ donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.
Exemple : « OU» (mot à coder) → ܺ = ቀ1420ቁ→ ܻ = ቀ7682ቁ → ܴ = ቀ244 ቁ→ « YE» (mot codé).
Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice ܻ = ቀݕଵ
ݕଶቁ telle que : ܻ = ܣܺ. 1. Démontrer que : ൜ 5ݔଵ = 2ݕଵ− ݕଶ
5ݔଶ = −3ݕଵ+ 4ݕଶ
2. En utilisant la question 1. b. de la partie A, établir que : ൜ݔଵ ≡ 16ݕଵ+ 5ݕଶ ݉݀ݑ݈ 26 ݔଶ ≡ 15ݕଵ+ 6ݕଶ ݉݀ݑ݈ 26 3. Décoder le mot « QP ».
