Feuille d’exercices n
7 - SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX
CALCUL DE SOMME ET PRODUIT Exercice 111. Echauffement ( ´ )
Soit a P C et n ¥ 1 un entier naturel. Calculer les sommes et produits suivants : 1.
¸
n k0a 2.
¸
n k0k 3.
¸
n k0a
k4.
n
¹
1 k0a 5.
¹
n k1k 6.
¹
n k0a
kExercice 112. ( ` a )
Soit n ¥ 2 un entier naturel. Calculer : 1.
¸
n k0p 2k 1 q ;
2.
¸
n k0p 2
k4k n 3 q ;
3.
¸
n k03
k2
2k1;
4.
¸
n k1ln
1 1
k
; 5.
¸
n k0k p k 1 q ! 6.
¸
n k0p1q
kk ;
7.
¹
n k1k
2k 2k
2k 1 ; 8.
¹
n k12k 3 2k 1 ; 9.
¹
n k21 1
k
2Exercice 113. ( ) Calculer de 2 fa¸ cons S
n¸
n k0p k 1 q
3¸
n k0k
3pour trouver T
n¸
n k0k
2. On doit trouver T
n npn 1qp62n 1q, ce qui se prouve aussi par r´ ecurrence.
Exercice 114. ( ) Pour n P N
, on pose S
n¸
n k11
k p k 1 qp k 2 q . 1. D´ eterminer des r´ eels a, b, c tels que :
@ k P N
, 1
k p k 1 qp k 2 q a k
b k 1
c k 2 . 2. En d´ eduire la valeur de S
n.
Exercice 115. ( )
Pour n P N
et θ Ps 0, 2π r , calculer P
np θ q
¹
n k1cos θ
2
k.
Indication : on exprimera cospxq en fonction de sinpxq et sinp2xq.
COEFFICIENTS BINOMIAUX Exercice 116. ( )
Soit x P R . Montrer que : @ n P N , p 1 x q
n¥ 1 nx.
Exercice 117. ()
Pour n P N
, on pose : A
n¸
0¤k¤n k pair
n k
et B
n¸
0¤k¤n kimpair
n k
.
Calculer A
nB
net A
nB
n. En d´ eduire la valeur des sommes A
net B
n. Exercice 118. ( )
En utilisant la forme factoris´ ee et la forme d´ evelopp´ ee de la fonction polynomiale f : x ÞÑ p 1 x q
n, calculer les sommes suivantes :
1. S
1¸
n k0n k
; 2. S
2¸
n k1k n
k
;
3. S
3¸
n k1k
2n
k
; 4. S
1¸
n k01 k 1
n k
. Exercice 119. ( )
Pour n P N
, on pose S
n¸
n k02n 1 k
.
1. A l’aide du changement d’indice j 2n 1 k, d´ eterminer une autre expression de S
n.
2. En d´ eduire la valeur de 2S
n, puis celle de S
n. Exercice 120. ( )
Soit n P N
. On pose S
n¸
n k0p 1 q
k2n
2k
et T
nn
¸
1 k0p 1 q
k2n
2k 1
. 1. ´ Ecrire z p 1 i q
2nsous forme trigonom´ etrique.
2. En d´ eduire la valeur des sommes S
net T
n. Exercice 121. ( )
Soit n P N
. Calculer S
np θ q
¸
n k0n k
cos p kθ q .
Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020
Feuille d’exercices n
7 - SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX
SOMMES DOUBLES Exercice 122. Echauffement ( ´ )
Soit n un entier naturel non nul. Calculer : S
1¸
0¤i,j¤n
1, S
2¸
0¤i¤j¤n
1, S
3¸
1¤i j¤n
1 Exercice 123. ( )
Soit n un entier naturel non nul et x P C. Calculer :
¸
0¤i,j¤n
x
i j, et ¸
0¤i¤j¤n
i j 1 Exercice 124. ()
Soit n P N
, connaissant le r´ esultat de l’exercice 113, calculer :
¸
0¤i,j¤n
p i j q
2puis ¸
0¤i j¤n
ij
Exercice 125. ( )
Soit n P N
, connaissant le r´ esultat de l’exercice 113, calculer successivement :
¸
0¤i,j¤n
p i j q , ¸
1¤i,j¤n
min p i, j q , ¸
1¤i,j¤n
max p i, j q et ¸
1¤i,j¤n
| i j |
Exercice 126. ( )
Soit n un entier naturel. On consid` ere la somme double S
n¸
n k0¸
n jk2
j. 1. V´ erifier que S
nn2
n 11.
2. D´ emontrer que S
n¸
n j0p j 1 q 2
j. 3. En d´ eduire que :
¸
n k1k2
k1pn 1q2
n1.
4. D´ eterminer alors la valeur de la somme double T
n¸
n i1i
¸
1 k1k2
k1.
Exercice 127. ()
Soit n P N
et z
1, . . . , z
ndes nombres complexes. Montrer que
n¸
k1
z
k 2¸
n k1z
k22 ¸
1¤p q¤n