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Soit a P C et n ¥ 1 un entier naturel. Calculer les sommes et produits suivants : 1.

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Academic year: 2021

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(1)

Feuille d’exercices n

7 - SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX

CALCUL DE SOMME ET PRODUIT Exercice 111. Echauffement ( ´ )

Soit a P C et n ¥ 1 un entier naturel. Calculer les sommes et produits suivants : 1.

¸

n k0

a 2.

¸

n k0

k 3.

¸

n k0

a

k

4.

n

¹

1 k0

a 5.

¹

n k1

k 6.

¹

n k0

a

k

Exercice 112. ( ` a )

Soit n ¥ 2 un entier naturel. Calculer : 1.

¸

n k0

p 2k 1 q ;

2.

¸

n k0

p 2

k

4k n 3 q ;

3.

¸

n k0

3

k

2

2k1

;

4.

¸

n k1

ln

1 1

k

; 5.

¸

n k0

k p k 1 q ! 6.

¸

n k0

p1q

k

k ;

7.

¹

n k1

k

2

k 2k

2

k 1 ; 8.

¹

n k1

2k 3 2k 1 ; 9.

¹

n k2

1 1

k

2

Exercice 113. ( ) Calculer de 2 fa¸ cons S

n

¸

n k0

p k 1 q

3

¸

n k0

k

3

pour trouver T

n

¸

n k0

k

2

. On doit trouver T

n

npn 1qp62n 1q

, ce qui se prouve aussi par r´ ecurrence.

Exercice 114. ( ) Pour n P N

, on pose S

n

¸

n k1

1

k p k 1 qp k 2 q . 1. D´ eterminer des r´ eels a, b, c tels que :

@ k P N

, 1

k p k 1 qp k 2 q a k

b k 1

c k 2 . 2. En d´ eduire la valeur de S

n

.

Exercice 115. ( )

Pour n P N

et θ Ps 0, 2π r , calculer P

n

p θ q

¹

n k1

cos θ

2

k

.

Indication : on exprimera cospxq en fonction de sinpxq et sinp2xq.

COEFFICIENTS BINOMIAUX Exercice 116. ( )

Soit x P R . Montrer que : @ n P N , p 1 x q

n

¥ 1 nx.

Exercice 117. ()

Pour n P N

, on pose : A

n

¸

0¤k¤n k pair

n k

et B

n

¸

0¤k¤n kimpair

n k

.

Calculer A

n

B

n

et A

n

B

n

. En d´ eduire la valeur des sommes A

n

et B

n

. Exercice 118. ( )

En utilisant la forme factoris´ ee et la forme d´ evelopp´ ee de la fonction polynomiale f : x ÞÑ p 1 x q

n

, calculer les sommes suivantes :

1. S

1

¸

n k0

n k

; 2. S

2

¸

n k1

k n

k

;

3. S

3

¸

n k1

k

2

n

k

; 4. S

1

¸

n k0

1 k 1

n k

. Exercice 119. ( )

Pour n P N

, on pose S

n

¸

n k0

2n 1 k

.

1. A l’aide du changement d’indice j 2n 1 k, d´ eterminer une autre expression de S

n

.

2. En d´ eduire la valeur de 2S

n

, puis celle de S

n

. Exercice 120. ( )

Soit n P N

. On pose S

n

¸

n k0

p 1 q

k

2n

2k

et T

n

n

¸

1 k0

p 1 q

k

2n

2k 1

. 1. ´ Ecrire z p 1 i q

2n

sous forme trigonom´ etrique.

2. En d´ eduire la valeur des sommes S

n

et T

n

. Exercice 121. ( )

Soit n P N

. Calculer S

n

p θ q

¸

n k0

n k

cos p kθ q .

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020

(2)

Feuille d’exercices n

7 - SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX

SOMMES DOUBLES Exercice 122. Echauffement ( ´ )

Soit n un entier naturel non nul. Calculer : S

1

¸

0¤i,j¤n

1, S

2

¸

0¤i¤j¤n

1, S

3

¸

1¤i j¤n

1 Exercice 123. ( )

Soit n un entier naturel non nul et x P C. Calculer :

¸

0¤i,j¤n

x

i j

, et ¸

0¤i¤j¤n

i j 1 Exercice 124. ()

Soit n P N

, connaissant le r´ esultat de l’exercice 113, calculer :

¸

0¤i,j¤n

p i j q

2

puis ¸

0¤i j¤n

ij

Exercice 125. ( )

Soit n P N

, connaissant le r´ esultat de l’exercice 113, calculer successivement :

¸

0¤i,j¤n

p i j q , ¸

1¤i,j¤n

min p i, j q , ¸

1¤i,j¤n

max p i, j q et ¸

1¤i,j¤n

| i j |

Exercice 126. ( )

Soit n un entier naturel. On consid` ere la somme double S

n

¸

n k0

¸

n jk

2

j

. 1. V´ erifier que S

n

n2

n 1

1.

2. D´ emontrer que S

n

¸

n j0

p j 1 q 2

j

. 3. En d´ eduire que :

¸

n k1

k2

k1

pn 1q2

n

1.

4. D´ eterminer alors la valeur de la somme double T

n

¸

n i1

i

¸

1 k1

k2

k1

.

Exercice 127. ()

Soit n P N

et z

1

, . . . , z

n

des nombres complexes. Montrer que

n

¸

k1

z

k

2

¸

n k1

z

k2

2 ¸

1¤p q¤n

z

p

z

q

.

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PCSI - 2019-2020

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