Feuille d’exercices n°4 : Récurrence, sommes et produits

ECE1-B 2015-2016

Feuille d’exercices n°4 : Récurrence, sommes et produits

Récurrence Exercice 1. (☀)

Montrer que : ∀n∈N, 3²ⁿ⁺¹+ 2ⁿ⁺² est un multiple de 7.

Exercice 2. (☀)

Montrer que : ∀n∈N^∗, 3²ⁿ+ 2⁶ⁿ⁻⁵ est un multiple de11.

Exercice 3. (☀)

Notons (u_n) la suite définie paru₀= 0 et :

∀n∈N, u_n+1= 3u_n+ 2

Calculer les premiers termes de la suite, émettre une conjecture sur sa valeur et démontrer cette conjecture par récurrence.

Exercice 4. (☀)

Soit(wn) la suite définie par : ( w₀= 1

∀n∈N, w_n+1= 1

3(w_n+ 4n+ 6) Démontrer que : ∀n∈N, w_n= 2n+ 1

3ⁿ.

Exercice 5. (☀)

Montrer par récurrence les propriétés suivantes.

a. ∀n>4, 2ⁿ6n!

b. ∀x∈R⁺, ∀n∈N,(1 +x)ⁿ>1 +nx c. ∀n∈N,

n

P

k=1

kk! = (n+ 1)!−1

Sommes finies : définition Exercice 6. (☆)

Écrire à l’aide du symboleΣ les expressions suivantes.

a. 3⁴+ 3⁵+ 3⁶+· · ·+ 3¹⁵ b. ¹₂ +²₄ +³₈ +₁₆⁴ +· · ·+₁₀₂₄¹⁰

c. u+^u₂² +^u₃³ +· · ·+^u_nⁿ d. 2−4 + 6−8 +· · ·+ 50

Sommes finies : manipulations d’indices Exercice 7. (☀)

Montrer que :∀n∈N^∗,

n

P

k=1

(k+ 1)√

n−k =

n−1

P

i=0

(n−i+ 1)√ i

Exercice 8. (☀)

1. Soienta etbdeux réels. Démontrer que pour tout n∈N, aⁿ⁺¹−bⁿ⁺¹ = (a−b)×

n

P

k=0

a^kb^n−k 2. Donner de même une factorisation de aⁿ−bⁿ pourn∈N^∗.

(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

ECE1-B 2015-2016

Exercice 9. (☀)

1. Trouver trois réels a,b etctels que, pour tout entierk>2, on a : k−5

k(k²−1) = a k−1 + b

k+ c k+ 1 2. En déduire la valeur de :

n

P

k=2

k−5 k(k²−1)

Sommes usuelles Exercice 10. (☀)

Calculer les sommes suivantes.

a.

11

P

k=5

k

b.

125

P

k=9

k

c.

11

P

i=5

x

d.

11

P

i=5

(3 + 5i)

e.

11

P

k=5

2^k 3 f.

125

P

k=3

48 2^k

g.

11

P

k=5

2^k+1 3^k−1

h.

11

P

k=5

3^k 2^2k

Exercice 11. (☀)

Calculer les sommes suivantes.

a.

n

P

k=1

(2k+ 1)

b.

n

P

k=1

(−1)^k

c.

n

P

k=1

5^2k

d.

2012

P

k=823

7

e.

n

P

k=1

k(2k²−1)

f.

n

P

k=0

(2^k+k²+ 2)

g.

n

P

k=1

(6k²+ 4k+ 1)

h.

9

P

k=1

1 4^k

i.

n

P

k=1

3^k 4^k+1

Exercice 12. (☀☀)

Démontrer les résultats suivants.

a. ∀n∈N,

n

P

k=0

k(k+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2) 3

b. ∀n∈N^∗,

n−1

P

k=0

(2k+ 1)³ = 2n⁴−n²

c. ∀n∈N, Pn

k=0

kq^k= q

(q−1)² nqⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1

Exercice 13. (☀☀)

Soitn∈N^∗ et notons(Sn) la suite de terme général Sn=

n

P

k=1

k.

Dans cet exercice, on considèren carrés emboîtés : le plus petit est de côté S₁, le suivant de côtéS₂, . . ., le dernier est de côté S_n.

Pouri∈J1, nK, on noteCi l’aire du carré de côtéSi.

a. Soit k∈J2, nK, exprimerCk−Ck−1 en fonction deSk etSk−1. b. En déduire une expression de Ck−Ck−1 en fonction dek.

c. Déduire de la question précédente queCn−C1 =

n

P

k=2

k³.

d. Conclure sur la relation liant la somme desnpremiers entiers et la somme desn premiers cubes.

Exercice 14. (☀☀)

Calculer les produits suivants.

a.

n

Q

k=0

3

b.

Qn

k=1

(2k)

c.

n

Q

k=0

(2k+ 1)

d.

Qn

k=0

q^k

e.

n

Q

k=0

q^2k

(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2

ECE1-B 2015-2016

Exercice 15. (☆)

Que vaut la somme des npermiers entiers pairs ? Impairs ? Exercice 16. (☀☀)

Soitn∈N^∗ etq6= 1.

On définit la suite de terme général un=

n

P

k=1

k.q^k. On définit la fonction f_n:R^∗→Rparf_n(x) =

n

P

k=0

x^k.

Le but de cet exercice est de démontrer de manière directe le dernier point de l’exercice 12.

a. Calculer f_n⁰, la dérivée de la fonction f_n par rapport à la variable x.

b. En déduire une relation entreun etf_n⁰(q).

c. En reconnaissant une somme classique, simplifier l’expression de fn(x).

d. Calculer f_n⁰ à l’aide du résultat de la question précédente.

e. En déduire le résultat souhaité.

Sommes doubles Exercice 17. (☀)

Soient(ai)i∈Net(bi)i∈N deux suites réelles.

Montrer que, pour tout n∈N, on a : X

16i6n, 16j6p

a_ib_j = _n

P

i=1

a_i

× _p

P

i=1

b_i

Exercice 18. (☀)

Soient(aij)i,j∈N une suite réelle. Montrer que, pour toutn∈N, on a : P

16i6j6n

a_ij =

n

P

i=1 n

P

j=i

a_ij

!

=

n

P

j=1 j

P

i=1

a_ij

!

Exercice 19. (☀☀) (Sommation suivant les « diagonales »)

Soit(aij)i,j∈N^∗ une suite réelle. Montrer que, pour tout n∈N^∗, on a :

n+1

P

k=1

P

i+j=k

a_i,j

!

=

n

P

i=1

n−i+1

P

j=1

a_i,j

!

=

n

P

j=1

n−j+1

P

i=1

a_i,j

!

Exercice 20. (☀☀☀)

Calculer les sommes doubles suivantes.

a.

n

P

i=1 n

P

j=i

1 j

!

b. P

16i,j6n

ij

c. P

16i6j6n

ij

d. P

16i6j6n

i j

e. P

16i,j6n

|i−j|

f. P

16i,j6n

i2^j

Exercice 21. (☀☀☀)

Calculer les sommes et produits suivants (avec a∈R etx∈R).

a.

n

P

i=1 n

P

j=1

min(i, j)

b. P

16i6j6n

(i+j)

c.

n

Q

k=1 2k 2k+1

d. P

16i,j6n

a^i+j

e. P

16i6j6n

a^i+j

f.

n

P

k=0

exp(kx)

Exercice 22. (☀☀☀)

Soit(ai,j)i,j∈N^∗ une suite de nombres réels. Montrer que pour toutn appar- tenant à N^∗, on a

_n P

k=1

a_k 2

= Pn

k=1

a²_k+ 2 P

16i<j6n

a_ia_j

(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3