Exercices sur la somme de vecteurs et la relation de Chasles
I
Dans chacun des exercices donnés ci-dessous, déterminez le vecteur égal au vecteur~u.
a) ~u=−→
CF+−→ IQ+−→
FI=−→
C F+−→ F I+−→
I Q=−→ C I+−→
I Q= −−→
CQ . (En utilisant la relation de Chasles) b) ~u=−−→
HO+−→
OZ= −−→
H Z . c) ~u=−→
SY+→− IJ+−→
JK+−→ KS=−→
I J+−→
J K+−→
K S+−→
SY =−→
I K+−−→
K Y = −→
I Y . d) ~u=−→
ST+−→
OS+−→ DJ+−→
LO+→− JL=−→
D J+−→ J L+−→
LO+−→
OS+−→
ST =−→
DL+−→ LS+−→
ST =−→
DS+−−→
W T = −−→
DT . e) ~u=−−→
EW+−→
AD+−→
DE=−−→
AD+−−→
DE+−−→
EW =−→
AE+−−→
EW= −−→
AW . f) ~u=−→
NV+−−→
DN+−→
BD+−→
AB=−→
AB+−−→
B D+−−→
D N+−−→
NV =−−→
AD+−−→
DV = −→
AV . g) ~u=−→
CF+−→
NT+−→
FN+−→
TU=−→ CF+−→
FN+−→
NT+−→
TU=−−→
C N+−−→
NU= −−→
CU . h) ~u=−→
EG+−−→ GQ= −−→
EQ . i) ~u=−→
DE+−→
AC+−→
CD=−→
AC+−→
CD+−→
DE=−−→
AD+−−→
DE= −→
AE . j) ~u=−−→
VW+−→ SV+−→
RS−→
NP+−→ PR+−−→
GN=−−→
G N+−−→
N P+−→
P R+−→
RS+−→
SV+−−→
V W =−→
GP+−→
P S+−−→
SW =−→
GS+−−→
SW = −−→
GW k) ~u=−−→
VW+−→ SV+−→
RS+−→
NP+−→ PR+−−→
GN=−→
NP+−→ PR+−→
RS+−→ SV+−−→
VW= −−−→ NW .
II
ABC est un triangle.
1. −−→
AD=−→
AB+−−→
C Aéquivaut à−−→
AD=−−→ C A+−→
C B=−→
C B donc−−→
AD=−→
C B. Voir figure ci-dessous.
Puisque−−→
AD=−→
C B, ADBC est un parallélogramme.
2. −−→
B M=−→
BC+−→
AC=−−→
D A+−→
AC=−−→
DC. On doit donc avoir :−−→
B M=−−→
DC; on en déduit que BMCD est un parallélogramme.
On construit M à l’aide d’un compas.
Figure :
bA
bB
bC
bD
bM
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III
SoitABC Dun rectangle de centreIetM un point quelconque.
−−→M N=−→
AB+−→ C I+−→
BC équivaut à−−→
M N=−→
AB+−→
BC+−→ C I=−→
AC+−→ C I =−→
AI. On a donc −−→
M N=−→ AI . Puisque−−→
M N=−→
AI, le quadrilatèreAI N M est un parallélogramme.
bA
bB
b
C
b
D
b
I
bM
bN
IV
On considère un objet mobile soumis à trois forces−→
F1,−→ F2et−→
F3.
L’objet est-il en équilibre ou va-t’il se dépla- cer ? Dans quelle direction ?
On doit construire le vecteur somme
−
→F =−→ F1+−→
F2+−→ F3. On appelle −→
F4 la somme −→ F1+−→
F2. C’est la somme de deux vecteurs de même origine, donc la diagonale du parallélogramme que l’on peut former sur ces deux vecteurs.
Alors :−→ F1+−→
F2+−→ F3=−→
F4+−→ F3. La force résultante,→−
F est différente du vecteur nul ; l’objet va se déplacer, vers le haut.
Attention, la norme du vecteur−→
F correspond à l’intensité de la force appliquée à l’objet, pas à la longueur de son déplacement.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
−
→F1
−
→F2
−
→F3
−→ F1
−→ F2
−→ F4
−
→F
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