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(1)A346 – Les entiers partageux Un entier naturel k-partageux est le plus petit entier qui a exactement k diviseurs positifs y compris 1 et lui-même

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(1)

A346 – Les entiers partageux

Un entier naturel k-partageux est le plus petit entier qui a exactement k diviseurs positifs y compris 1 et lui-même. On désigne par s(k) le terme général de la suite S des termes k-partageux. Les premiers termes sont s(1) = 1, s(2) = 2, s(3) = 4, s(4) = 6...

Q₁ Déterminer les plus petites valeurs de k telles que les entiers k-partageux correspondants sont respectivement divisibles par 5, 7, 11, 13.

Q₂ Démontrer que l’équation s(k) = 10k a une solution et une seule en k.

Q₃ Un entier n quelconque étant fixé à l’avance, démontrer qu’on sait toujours trouver deux termes consécutifs s(k) et s(k+1) de la suite S tels que le premier dépasse n fois le second. Application numérique : n = 1 000 000.

Q₄ Démontrer que s(2n)divise s(2n+1) pour tout n ≥ 0.

Source : d’après un problème présélectionné aux IMO 2011.

Solution par Patrick Gordon Q₁

divisibilité par 5

Un entier k-partageux ne peut contenir le facteur 5 que s'il contient aussi les facteurs 2 et 3.

En effet, soit n = 5p 7q 11r… qui a (p+1) (q+1) (r+1)… diviseurs.

Les entiers n' = 2p 7q 11r… et n'' = 3p 7q 11r… ont le même nombre de diviseurs que n et sont plus petits que lui; n n'est donc pas k-partageux.

Pour cette même raison et plus généralement, tout entier k-partageux contiendra tous les facteurs premiers 2,3,5… jusqu'à un facteur donné, "sans trous".

Application à la divisibilité par 5.

Il faut que n comporte les facteurs 2, 3 et 5. Le plus petit n avec ces facteurs est 2×3×5 = 30. Il a 8 diviseurs (et, en tout état de cause, k ne saurait donc être < 8), mais ce n'est pas le plus petit entier qui a exactement 8 diviseurs positifs y compris 1 et lui-même.

En effet, 8 se décompose en : 8, 2×4 et 2×2×2. La plus petite valeur pour 8 serait 27 = 128, mais pour 2×4 elle serait 23 31 = 24 < 30.

Essayons donc n = 2p 3q 5r avec p, q, r non tous égaux à 1. Le plus petit n est 22×3×5 = 60; il a k = 12 diviseurs.

Le nombre 12 se décompose en 12, 6×2, 4×3, 3×2×2.

Avec la décomposition 12, le plus petit n est 211 = 2048.

Avec la décomposition 6×2, le plus petit n est 25×3 = 96.

Avec la décomposition 4×3, le plus petit n est 23×32 = 72.

Tous ces nombres sont > 60.

(2)

12 et l'entier k-partageux correspondant est 22×3×5 = 60.

divisibilité par 7

Pour la même raison que ci-dessus, il faut que n comporte les facteurs 2, 3, 5 et 7 (et, en tout état de cause, k ne saurait donc être < 16). Le plus petit n avec ces facteurs est 2×3×5×7 = 210. Il a 16 diviseurs mais ce n'est pas le plus petit entier qui a exactement 16 diviseurs positifs y compris 1 et lui-même.

En effet, 16 se décompose aussi en 4×2×2 et le nombre 23×3×5 = 120 a lui aussi 16 diviseurs.

Le nombre 22×3×5×7 = 420 a 24 diviseurs mais il ne convient pas non plus car 240 se décompose aussi en 4×3×2 et le nombre 23×32×5 = 360 a lui aussi 24 diviseurs.

Le nombre 23×3×5×7 = 840 a 32 diviseurs. La décomposition de 32 en 4 facteurs au plus1 peut être :

32 16×2 8×4 8×2×2 4×4×2 4×2×2×2

En prenant les facteurs dans l'ordre 2, 3, 5, 7, il vient respectivement :

231 manifestement > 840 215×3 id.

27×33 = 1152 27×3×5 = 1920 23×33×5 = 1080 23×3×5×7 = 840

Le nombre 23×3×5×7 = 840 convient donc et la plus petite valeur de k telle que l'entier k-partageux correspondant soit divisible par 7 est donc 32.

divisibilité par 11

Pour la même raison que ci-dessus, il faut que n comporte les facteurs 2, 3, 5, 7 et 11 (et, en tout état de cause, k ne saurait donc être < 32).

Le plus petit n avec ces facteurs est 2×3×5×7×11 = 2310. Il a 32 diviseurs mais ce n'est pas le plus petit entier qui a exactement 32 diviseurs positifs y compris 1 et lui-même.

En effet, on a vu ci-dessus que le nombre 23×3×5×7 = 840 (< 2310) a lui aussi 32 diviseurs.

Le nombre 22×3×5×7×11 = 4620 a 48 diviseurs. Il ne convient pas car le nombre 23 × 32 × 5 × 7 a lui aussi 48 diviseurs et vaut 2520.

Le nombre 23×3×5×7×11 = 9240 a 64 diviseurs. Il ne convient pas car le nombre 23 × 33 × 5 × 7 a lui aussi 64 diviseurs et vaut 7560.

1 Dans chaque décomposition, on liste les facteurs dans l'ordre décroissant, afin de les affecter comme exposants aux nombres en ordre croissant 2, 3, 5…

(3)

Le nombre 24×3×5×7×11 = 18480 a 80 diviseurs. Il ne convient pas car le nombre 24 × 33 × 5

× 7a lui aussi 80 diviseurs et vaut 15120.

Le nombre 25×3×5×7×11 = 36960 a 96 diviseurs. Voyons si c'est "le bon".

La décomposition de 96 en 5 facteurs au plus peut être :

1) 96 2) 48×2 3) 32×3 4) 24×4 5) 24×2×2 6) 16×6 7) 16×3×2 8) 12×8 9) 12×4×2 10) 12×2×2×2 11) 8×4×3 12) 8×3×2×2 13) 4×3×2×2×2

Les 10 premières donnent des valeurs bien plus élevées que 36960 .

La 11ème donne : 27 × 33 × 52 = 86400

La 12ème donne : 27 × 32 × 5× 7 = 40320.

La 13ème donne : 23 × 32 × 5× 7 × 11 = 27720.

Le plus petit de tous ces nombres est 23 × 32 × 5× 7 × 11 = 27720. Il convient donc et la plus petite valeur de k telle que l'entier k-partageux correspondant soit divisible par 11 est donc 96.

À noter que, en cherchant parmi les nombres de la forme 2p × 3× 5× 7 × 11, nous en avons trouvé un de la forme 2p × 3q × 5× 7 × 11 qui répond à la question.

divisibilité par 13

Pour la même raison que ci-dessus, il faut que n comporte les facteurs 2, 3, 5, 7, 11 et 13 (et, en tout état de cause, k ne saurait donc être < 64).

Le plus petit n avec ces facteurs est 2×3×5×7×11×13 = 30030. Il a 64 diviseurs mais ce n'est pas le plus petit entier qui a exactement 64 diviseurs positifs y compris 1 et lui-même.

En effet, on a vu ci-dessus que le nombre 23 × 33 × 5 × 7 a lui aussi 64 diviseurs et vaut 7560.

Le nombre 22×3×5×7×11×13 = 60060 a 96 diviseurs. C'est (après 2×3×5×7×11×13, qui ne convient pas) le plus petit nombre qui possède les 6 facteurs premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13. Il existe toutefois un autre nombre à 96 diviseurs plus petit que lui. C'est 23 × 32 × 5× 7 × 11 = 27720, que nous venons de voir à propos de la divisibilité par 11. Nota: il importe peu qu'il ne soit pas divisible par 13 car nous cherchons certes un nombre divisible par 13 mais qui soit de plus k-partageux; or

22×3×5×7×11×13 = 60060 ne l'est pas.

Le nombre 23×3×5×7×11×13 = 120120 a 128 diviseurs. Il ne convient pas car 23 × 33 × 5 × 7 × 11

= 83160 a lui aussi 128 diviseurs.

(4)

Le nombre 22×32×5×7×11×13 = 180180 a 144 diviseurs. Il ne convient pas car 25 × 32 × 5 × 7 × 11

= 110880 a lui aussi 144 diviseurs.

Le nombre 24×3×5×7×11×13 = 240240 a 160 diviseurs. Il ne convient pas car 24 × 33 × 5× 7 × 11 = 166320 a lui aussi 160 diviseurs.

Le nombre 25×3×5×7×11×13 = 480480 a 192 diviseurs. Il ne convient pas car 25 × 33 × 5 × 7 × 11 = 332640 a lui aussi 192 diviseurs.

Le nombre 26×3×5×7×11×13 = 960960 a 224 diviseurs. Il ne convient pas car 26 × 33 × 5 × 7 × 11 = 665280 a lui aussi 224 diviseurs.

Le nombre 27×3×5×7×11×13 = 1921920 a 256 diviseurs.

La décomposition de 256 en 6 facteurs au plus peut être :

1) 256 2) 128×2 3) 64×4 4) 64×2×2 5) 32×8 6) 32×4×2 7) 32×2×2×2 8) 16×16 9) 16×8×2 10) 16×4×2×2 11) 16×2×2×2×2 12) 8×8×4 13) 8×8×2×2 14) 8×4×2×2×2 15) 8×2×2×2×2×2 16) 4×4×2×2×2×2

Les 13 premières donnent des valeurs bien plus élevées que 1921920.

La 14ème donne : 27 × 33 × 5 × 7 × 11 = 1330560.

La 15ème donne : 27 × 3× 5 × 7 × 11× 13 = 1921920 (nombre d'où nous sommes partis).

La 16ème donne : 23 × 33 × 5 × 7 × 11 × 13 = 1081080.

Le nombre 23 × 33 × 5 × 7 × 11 × 13 = 1081080 semble donc convenir.

Toutefois, comme cette fois encore, en cherchant parmi les nombres de la forme 2p × 3× 5× 7 × 11

× 13, nous en avons trouvé un de la forme 2p × 3q × 5× 7 × 11 × 13 meilleur que les autres, nous étendrons la recherche dans ce sens.

Or on remarque que le nombre 24 × 32 × 5 × 7 × 11 × 13 est plus petit que le précédent car ce que l'on "gagne" en passant l'exposant de 3 de 3 à 2 dépasse ce que l'on "perd" en passant l'exposant de 2 de 3 à 4. Ce dernier nombre en effet vaut 720720. Il a 240 diviseurs.

Quelques essais au moyen d'un tableur d'alternatives "raisonnables" (exposants en ordre décroissant affectés aux facteurs premiers en ordre croissant, notamment) indiquent qu'il n'y a pas de

décomposition de 240 susceptible de donner un nombre plus petit (même non divisible par 13).

(5)

Nous retiendrons donc que le nombre 24 × 32 × 5 × 7 × 11 × 13 = 720720 convient et que la plus petite valeur de k telle que l'entier k-partageux correspondant soit divisible par 13 est donc 240.

Q₂

Pour que l’équation s(k) = 10k ait une solution en k, il faut, en tout état de cause, que s(k) comporte les facteurs 2 et 5 – donc 2, 3 et 5 en raison de la propriété générale soulignée plus haut.

On trouve sans peine que 22 32 5 = 180 = s(18) est une solution.

En effet, 18 ne se décompose qu'en 9 × 2 ou 3 × 3 × 2. La première décomposition donne pour plus petit nombre 217 × 3 et la seconde : 22 × 32 × 5 = 180.

L'équation s(k) = 10k a donc pour solution k = 18. Reste à voir l'unicité.

Plus généralement, un entier k-partageux divisible par 2, 3 et 5 s'écrit :

n = 2p 3q 5r … (les autres facteurs premiers étant quelconques)

et a : (p+1) (q+1) (r+1)… diviseurs.

Comme s(k) doit être le plus petit entier ayant ce nombre de diviseurs, les exposants p, q, r doivent être en ordre p ≥q ≥r≥…≥1 car, sinon, un permutation des exposants donnerait un s(k) plus petit sans changer k.

Or le nombre k des diviseurs peut se décomposer de plusieurs façons en :

k = a bc…

où les a, b, c ne sont pas nécessairement premiers, ni tous différents.

Par exemple, 18 peut se décomposer en :

18 9 × 2 6 × 3 3 × 3 × 2.

Les facteurs de ces décompositions, considérés comme les (p+1) (q+1) (r+1) de 2p 3q 5r, donnent respectivement :

217 28 × 3 25 × 32 22 × 32 × 5

et le dernier, qui vaut 180, est le plus petit et est donc s(18).

Pour qu'un autre k soit solution de l'équation, il faut à tout le moins qu'il se décompose en au moins 3 facteurs >1, qui seront les (p+1) (q+1) (r+1) de 2p 3q 5r

Cela exclut déjà les nombres premiers et les produits de 2 nombres premiers.

Soit donc une décomposition k = a bc… censée donner le plus petit nombre k-partageux :

(6)

s(k) = 2a-1 3b-1 5c-1

On veut que s(k) = 10k, c’est-à-dire :

2a-1 3b-1 5c-1… = 10 a bc…

soit encore :

2a-2 3b-1 5c-2… = abc…

Si l'on essaye d'identifier terme à terme, on trouve que 2a-2 = 4 seulement pour a = 4 et qu'aucun appariement n'est possible pour 3 ni pour 5.

Or on a vu ci-dessus que 22 32 5 = 180, c’est-à-dire encore : 2 32 = 18, ce qui satisfait bien :

2a-2 3b-1 5c-2 = abc

avec a = 3, b = 3, c = 2.

Or, on n'a pas d'appariement de a à a, de b à b, de c à c.

L'appariement est en fait complexe :

2a-2 = c 3b-1 = ab 5c-2 = 1

Si l'on cherche à résoudre par des appariements :

2a-2 3b-1 5c-2… = abc…

ou mieux :

2a-2 3b-1 5c-2 = abc (en se limitant à ces trois facteurs)

(car, plus les facteurs 7,11, 13… sont élevés, plus les appariements sont improbables), on retombe sur la solution 22 32 5 = 180 = s(18), qui est donc unique.

Q3

Le nombre s(k) est très élevé pour k premier. En effet, k ne se décompose alors qu'en k lui-même et s(k) = 2k-1.

Le nombre k+1 est alors pair, soit = 2k'. Si k' est lui-même premier (comme pour k = 61, qui donne k' = 31), s(k+1) = 2k'-1 × 3 et par conséquent :

s(k) / s(k+1) = 2k-k' / 3.

Or k' = (k+1)/2, donc k – k' = (k–1)/2 et, si l'on trouve k premier (avec k' = (k+1)/2 également premier) assez grand, le rapport s(k) / s(k+1) = 2(k-1)2 / 3 peut être aussi grand qu'on veut.

Si l'on ne trouve pas k premier (avec k' = (k+1)/2 également premier) assez grand, cela n'a pas d'importance car le cas de k' également premier est "le plus défavorable". En effet, si k' se

(7)

décompose en a × b× c… (nombres premiers dans l'ordre décroissant éventuellement avec répétitions), s(k+1) sera de la forme :

2a-1 × 3b-1 × …

donc encore plus petit que 2k'-1 × 3.

Le cas "le plus défavorable" (celui où le plus grand facteur impair de k' est le plus grand) est celui ou k' = a2 (carré d'un nombre premier), comme pour k = 241, qui donne k' = 121 = 112.

On a alors k+1 = 2 × a × a et s(k+1) = 2a-1 × 3a-1 × 5

D'où :

s(k) / s(k+1) = 2k-a / 3a-1 / 5.

ce qui reste très élevé car k – a est très supérieur à a – 1

Exemple (k = 241; a = 11)

s(241) / s(242) = 2230/ 310/ 5.

Application à s(k) / s(k+1) > 1 000 000

Les exemples k = 61 (k' = 31) et k =241 (k' = 121) répondent largement à la question.

Le premier donne s(k) / s(k+1) = 230 / 3 = environ 358 000 000.

Le second donne s(k) / s(k+1) = 2230/ 310/ 5 = environ 5,8 1063

On peut aussi rechercher la plus petite valeur de k donnant ce résultat.

Il faut naturellement commencer la recherche au premier k premier qui donne 2k– 1 > 1 000 000, c’est-à-dire à k = 23, auquel correspond s(k) = 222 = 4 194 304.

Quant à k+1 = 24, qui se décompose en :

24 auquel correspond 223

12 × 2 auquel correspond 211 × 3

8 × 3 auquel correspond 27 × 32

6 × 4 auquel correspond 25 × 33

6 × 2× 2 auquel correspond 25 × 3× 5 3 × 2 × 2 × 2 auquel correspond 22 × 3× 5 × 7

le s(24) est la plus petite (donc la dernière) de ces valeurs, soit : 420.

Le rapport s(k) / s(k+1) est un peu inférieur à 10 000 et k = 23 ne convient pas.

Le nombre premier suivant est k = 29.

k+1 = 30 se décompose de façon unique en : 2 × 3 × 5, donc :

s(30) = 25 × 33× 52 = 21 600.

Comme s(k) = 228 = 268 435 456, s(k) / s(k+1) = 12427,57 et k = 29 ne répond pas à la question.

(8)

En revanche, à k = 31 correspond k+1 = 32, qui se décompose de plusieurs façons, dont :4 × 2 × 2

×2, qui donne pour s(32) la plus petite valeur : 23 × 3× 5 × 7 = 840.

Avec k = 31 donc, s(k) / s(k+1) = 232 / 840 > 5 000 000.

La plus petite valeur de k telle que s(k) dépasse plus de 1 000 000 fois s(k+1) est donc k = 31.

Q4

Nous avons vu, à la faveur des questions précédentes, quelles décompositions de k égal à certaines puissances de 2 conduisent à s(k). Récapitulons-les :

k décomposition s(k)

16 4 × 2 × 2 23×3×5 = 120

32 4 × 2 × 2 × 2 23×3×5×7 = 840 64 4 × 4 × 2 × 2 23×33×5×7 = 7560 128 4 × 4 × 2 × 2 × 2 23×33×5×7×11 = 83160

256 4 × 4 × 2 × 2 × 2× 2 23× 33×5×7×11×13 = 1081080.

On observe, pour ces premières valeurs de k = 2n, que, en effet, s(2n) divise s(2n+1) pour tout n ≥ 0.

Cela est dû au fait que, pour obtenir s(k), plus petit entier qui a exactement k diviseurs positifs y compris 1 et lui-même, on doit, comme nous l'avons relevé maintes fois, prendre tous les facteurs premiers dans l'ordre croissant sans omission et leur affecter les exposants (les p– 1) dans l'ordre décroissant de ces derniers.

Or, quand on passe de la décomposition de 2n à celle de 2n+1, ou bien on multiplie l'un des facteurs de la décomposition par 2 (comme pour le passage de 32 à 64), ou bien on ajoute un 2 au produit en queue de séquence (comme pour le passage de 64 à 128).

Dans le premier cas, un des facteurs premiers de s(k) verra son exposant augmenté; dans le second, on passera de s(k) à s(k+1) par une multiplication par un nouveau facteur premier.

Dans les deux cas, s(k+1) sera un multiple de s(k).

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