A359. Quod abundat non vitat (a)
Par convention, le degré d’abondance d(n) d’un entier naturel n > 0 est égal au rapport σ(n) / n où σ(n) désigne la somme des diviseurs de n , y compris 1 et n.
Q1 Déterminez les plus petits entiers dont les degrés d’abondance sont respectivement ≥ 2, 3, 4 et 5. Justifiez votre réponse.
Q2 Un entier k > 1 étant fixé à l’avance, prouvez qu’on sait toujours trouver au moins un entier (pas nécessairement le plus petit) tel que son degré d’abondance est au moins égal à k.
Q3 Un entier n > 1 étant fixé à l’avance, prouvez qu’on sait toujours trouver une suite S strictement croissante de n entiers positifs telle que la suite S’
constituée par la somme des diviseurs de chacun des n termes de S est strictement décroissante.
(a) Abondance de biens ne nuit pas.
Solution proposée par Marie-Christine Picquet
Q₁ :
On pose σ (n)/n le degré d'abondance de n .
Pour un nombre n = pq (p est premier et q un exposant entier variant de 1 à l'infini) ,σ (n)/n est alors minoré par le rapport (p+1)/p lorsque q=1 et majoré par le rapport p/(p-1) lorsque q --> infini .
Ainsi le degré d'abondance de n=2 est 3/2 et celui de 2^inft => 2, celui de n=3 est 4/3 et celui de 3^inft => 3/2 . On en déduit celui de n=6 , σ (6) = 3/2 x 4/3 = 2 avec (1+2+3+6)/6 = 2
Un petit tableau donnant les rapports σ (n)/n des premières puissances des pq
q_____________1_____________2_____________3_____________4_...infini
2____________3/2___________7/4___________15/8________31/16__63/32... 2 --> σ (n)/n = (pq+1 ‒ 1) / pq pour p = 2
3____________4/3__________13/9___________40/27_______121/81_364/243....3/2 --> σ (n)/n = [pq+1 ‒ 1] / [(p ‒ 1). pq ] pour p > 2
5____________6/5__________31/25__________156/125_____781/625...5/4
7____________8/7__________57/49__________400/343____2801/2401...7/6
11__________12/11________133/121________1464/1331...11/10
13__________14/13________183/169________2380/2197...13/12
Le plus petit nombre ayant un degré d'abondance >= 3 est n = 120 avec σ (n)/n = 15/8 * 4/3 * 6/5 = 3
Le plus petit nombre ayant un degré d'abondance >= 4 est n = 27720 avec σ (n)/n = 15/8 * 13/9 * 6/5 * 8/7 * 12/11 = 4.051948...
Le plus petit nombre ayant un degré d'abondance >= 5 est : n = 122522400 = 2⁵.3².5².17.11;13.17 avec σ (n)/n = 63/32 * 26/18 * 124/100 * 48/42 * 120/110 * 168/153*288/272 = 5.0130...
Q₂ : En posant d(n) = σ (n)/n comme degré d'abondance de n , on sait que le degré d'abondance d'un premier p quelconque est toujours supérieur à 1 . On en conclut qu'on trouvera toujours un nombre n = 2 * 3 *5 * 7 * 11 * ... pi ayant un degré d'abondance :
σ (n)/n = σ (2)/2 * σ (3)/3 * σ (5)/5 * ... σ (pi )/pi ....* σ (n)/n , car ce produit est divergent .
Q₃: n étant posé à l'avance , il suffit de prendre les n-1 nombres premiers [2 , 3 , 5 , 7 ...P(n-1) ] , de leur affecter un exposant de telle sorte que , après avoir choisi n-1 nombres premiers [ R1 < R2 < R3 <...< R(n-1) ] , on ait les 2 relations :
R1 > P(n-1) (1)
2a < R1 < 3b < R2 < 5c < R3 < ...< P(n-1)w < R(n-1) (2) Les exposants a , b , c ....v , w ne sont pas nécessairement distincts.
Alors les nombres de la suite S croissante sont les suivants:
U₁= 2a * 3b * 5c *...* P(n-2)v * P(n-1)w U₂ = R1 * 3b * 5c *...* P(n-2)v * P(n-1)w U₃ = R1 * R2 * 5c *...* P(n-2)v * P(n-1)w U₄ = R1 * R2 * R3 * 7d...* P(n-2)v * P(n-1)w --- Un-1 = R1 * R2 * R3 *... * R(n-2) * P(n-1)
Un = R1 * R2 * R3 *... *R(n-2) * R(n-1)
Un exemple avec n = 5
Sachant que : 2⁶< 67 < 3⁴< 83 < 5³ < 127 < 7³ Alors :
U₁ = 2⁶x 3⁴x 5³ x 7³ = 222 264 000 __________________ σ (1) = 958 900 800 U₂= 67 x 3⁴x 5³ x 7³ = 232 682 625 __________________ σ (2) = 513 427 200 U₃= 67 x 83 x 5³ x 7³ = 238 427 875 __________________ σ (3) = 356 428 800 U₄ = 67 x 83 x 127 x 7³ = 242 242 721 __________________ σ (4) = 292 454 400 U₅ = 67 x 83 x 127 x 347 = 245 067 709 __________________ σ (5) = 254 435 328
Dans ce cas R1 = 67 > P4 = 7 ; avec n assez grand les Ui deviennent gigantesques ; S est croissante et S'
