Universit´e de Bordeaux L3 Math, Info, Math-Info Coll`ege Sciences et Technologies
Ann´ee Universitaire 2015-2016 Devoir Surveill´e
Parcours : IN601, MA601, MA603 UE :N1MA6W31 Epreuve :´ Cryptographie et Arithm´etique
Date : 7 Mars 2016 Heure : 11h00 Dur´ee : 1h30 Documents : Aucun document autoris´e
Epreuve de M. Cerri´
L’usage de la calculatrice est autoris´e.
Exercice 1 [Nombres parfaits]
On note σ l’application qui `a tout entier n ≥ 2 associe la somme de ses diviseurs (positifs). Un entier n≥2 est dit parfait lorsque σ(n) = 2n. Par exemple 6 est parfait car 1 + 2 + 3 + 6 = 2×6. On se propose ici de d´ecrire les nombres parfaits pairs1.
1. Soit nun entier ≥2 pair. ´Ecrivons n= 2km o`u k≥1 etm est impair.
Supposons que nest parfait.
a) Montrer queσ(n) = (2k+1−1)σ(m) et en d´eduire que (2k+1−1)σ(m) = 2k+1m.
b) Montrer que 2k+1 diviseσ(m).
c) Posons σ(m) = a2k+1 o`u a est un entier ≥1. Montrer quea divise m et quea=σ(m)−m.
d) Prouver que a6=m.
e) Montrer queane peut pas ˆetre un diviseur non trivial dem.
f) En d´eduire quen= 2k(2k+1−1) o`u 2k+1−1 est premier.
2)R´eciproquement, montrer que tout entiernde cette forme est bien parfait.
On a donc d´emontr´e le r´esultat suivant.
Th´eor`eme. Un entiern≥2 est pair et parfait si et seulement s’il existe un entier k≥1 tel que n= 2k(2k+1−1) o`u 2k+1−1 est premier.
Exercice 2 [th´eor`eme chinois]
L’entier naturel n v´erifie que lorsqu’on le divise par 15 on obtient un reste de 10, lorsqu’on divise 7npar 31 on obtient un reste de 2 et lorsqu’on divise 4npar 14 on obtient un reste de 6.
1. Quel est le reste de la division de npar 31 ? 2. Quel est le reste de la division de npar 7 ? 3. Sachant que 10000≤n≤15000, d´eterminer n.
1A ce jour, on ne sait pas s’il existe des entiers parfaits impairs.`
Exercice 3 [Fonction indicatrice de Carmichael]
Soit un entier n ≥ 2. On note λ(n) le ppcm des ordres des ´el´ements de (Z/nZ)×.
1. Montrer que pour tout a∈Z premier avecn, on aaλ(n)= 1 modn.
2. Montrer que sik≥1 est un entier tel queak = 1 modnpour tout a∈Z premier avecn, alors λ(n) divise k. En d´eduire queλ(n) divise φ(n).
3. Montrer que si p est premierλ(p) =φ(p).
4. Trouver un entiern tel queλ(n)< φ(n).
5. Montrer que si m, n ≥ 2 sont premiers entre eux, alors λ(mn) = ppcm(λ(m), λ(n)).
Exercice 4 [RSA]
Alice et Bob utilisent le protocole RSA pour communiquer. La cl´e publique d’Alice est (n, e) = (3427661,559).
1. Elle a oubli´e quels premiers p et q elle a utilis´es pour obtenir n mais a not´e queφ(n) = 3423324. Retrouver p etq (on suppose p < q).
2. V´erifier que le choix deeest correct et d´eterminerdla cl´e secr`ete d’Alice.
3. Bob veut envoyer le message m `a Alice. Combien de multiplications modulo n peut-il utiliser pour chiffrerm en c ? On cherchera `a minimiser le nombre d’op´erations effectu´ees.
4. Alice re¸coit le chiffr´e c. Elle d´esire calculer le clair m correspondant en utilisant le th´eor`eme chinois. Montrer qu’elle peut calculer mmodp en faisant une division euclidienne (que l’on pr´ecisera) et 5 multiplications mod- ulo p, etmmodq en faisant une division euclidienne (que l’on pr´ecisera) et 9 multiplications modulo q.
