Universit´e de Bordeaux L3 Math-Info et Math. Fonda.
Coll`ege Sciences et Technologies
Ann´ee Universitaire 2017-2018 Devoir Surveill´e
Parcours : MF601, MI601 UE : 4TTI603U Epreuve :´ Arithm´etique et Cryptologie
Date : 12 Mars 2018 Heure : 11h00 Dur´ee : 1h30 Documents : Aucun document autoris´e
Epreuve de M. Cerri´
L’usage de la calculatrice est autoris´e. La qualit´e de la r´edaction sera un facteur d’appr´eciation.
Exercice 1 [Th´eor`eme Chinois]
D´eterminer lesx∈Zv´erifiant 0≤x≤5000 et le syst`eme
2x ≡ 3 mod 11 3x ≡ 12 mod 39 8x ≡ 10 mod 34
Remarque 1. Les inversions modulaires `a effectuer sont tr`es simples et il est normale- ment inutile de passer par l’algorithme d’Euclide ´etendu.
Exercice 2 [Un test de primalit´e] Soit n≥3 un entier naturel.
1. Montrer que si nest premier, il existe a∈Ztel que an−1 ≡1 modn eta
n−1
p 6≡1 modn pour tout premierp divisant n−1. (1) 2. R´eciproquement, supposons quenv´erifie (1) et notonsα la classe de adansZ/nZ.
a) Montrer que α∈(Z/nZ)×.
b) Quel est l’ordre deα dans (Z/nZ)× ? c) En d´eduire que nest premier.
3. Soit Fn= 22n+ 1 un nombre de Fermat (o`u n≥0). Montrer queFnest premier si et seulement s’il existe a∈Ztel que
a22
n−1
≡ −1 modFn. (2)
Remarque 2. On peut montrer, en utilisant la loi de r´eciprocit´e quadratique, que l’on peut prendre a= 3 dans (2) d`es que n≥1 (crit`ere de P´epin).
4. Combien de multiplications modulo Fn a-t-on besoin de faire pour v´erifier (2) ?
Exercice 3 [RSA]
Alice veut utiliser le syst`eme RSA. Elle choisit deux nombres premierspetq v´erifiant p≡3 mod 10 et q≡9 mod 10.
1. Montrer que le choixe= 25 pour l’exposant de chiffrement est pertinent.
2. Elle choisit deux premiers distincts v´erifiant ces congruences ete= 25. Elle obtient n=pq= 1537777 etφ(n) = 1535296. Retrouver petq.
3. Quelle sera la cl´e secr`ete d’Alice ?
4. Combien de multiplications modulo n Bob a-t-il besoin de faire pour chiffrer un message m ? On donnera la r´eponse la plus ´economique.
5. Alice re¸coit le chiffr´e c. Elle d´esire calculer le clair m correspondant en utilisant le th´eor`eme chinois. Montrer qu’elle peut calculer mmodp en faisant une division euclidienne (que l’on pr´ecisera) et 13 multiplications modulop, etmmodq en faisant une division euclidienne (que l’on pr´ecisera) et 13 multiplications modulo q.
6. Montrer comment un attaquant qui ne connaˆıt que (n, e) et qui soup¸conne que p etq sont proches peut factorisern extrˆemement rapidement.
