1. Division euclidienne

Arithmétique

1. Division euclidienne

La division euclidienne a été vue au collège.

Exemple

145 11 On a posé ci-contre la division euclidienne de 145 par 11. Le divi- dende est 145, le diviseur 11, le quotient 13 et le reste 2.

On a alors l’égalité et le reste vérifie

143 13 2

On admet le résultat suivant.

Théorème (division euclidienne). Pour tout entier naturel et tout entier naturel non nul, il existe deux entiers naturels uniques et tels que

et .

L’algorithme suivant retourne respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de par .

Tant que Fin Tant que Retourner ,

Division euclidienne « naïve »

Définition. L’entier s’appelle quotient de la division euclidienne de par et est le reste de cette division.

En python,

 a%b donne le reste de la division euclidienne de a par b ;

 a//b donne le quotient de division euclidienne de a par b ;

Exemple

Vérifions avec Python que

est divisible par 271 :

>>> (3**15+1)%271

0

2. Multiples, diviseurs

Exemple

Les entiers 4 et 6 sont des diviseurs de 12 car et . On peut aussi dire que 12 est un multiple de 4 et de 6.

Définition. Soit et des entiers naturels.

est un multiple de s’il existe un entier tel que . Si , alors est un diviseur de (ou est divisible par ).

Remarques.

 1 a pour seul diviseur 1 ;

 tout entier naturel a au moins deux diviseurs : 1 et ;

 0 a pour seul multiple 0 ;

 0 est un multiple de tout entier.

 est divisible par si et seulement si le reste de la division euclidienne de par est 0.

Rappelons quelques critères de divisibilité.

 Un entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;

 un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;

 un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ;

 un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

 Recherche des diviseurs d’un entier

Soit un entier supérieur ou égal à 2.

Si est un diviseur de , il existe tel que . On a alors ou . En effet, dans le cas contraire, on aurait et , d’où , c’est-à-dire , ce qui est en contradiction avec .

La recherche des diviseurs de peut donc s’écrire sous forme de l’algorithme suivant.

Pour de 1 à partie entière de Si divise

Afficher ,

Recherche des diviseurs de

Exemple

Exécutons cet algorithme pour la recherche des diviseurs de 20. On a donc va varier de 1 à 4.

1 2 3 4

divise-t-il 20 ? oui oui non oui

Si oui, afficher … 1, 20 2, 10 4, 5

Ainsi les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10 et 20.

Remarque. Si est un carré ), l’algorithme retournera deux fois le diviseur .

3. Base d'un système de numération

 Numération en base 10

Dans la vie courante, nous comptons en base 10.

Exemple

.

 Numération en base 2

En base 2, on dispose de deux chiffres : 0 et 1.

Exemple

On a , donc 3 s'écrit 11 en base 2 et se lit « un un ». On écri- ra pour éviter les confusions.

En pratique, la connaissance des puissances de 2 permet de faire rapidement « à la main » la conversion en base 2.

liste vide Tant que

la plus grande puissance de 2 inférieure à Écrire dans la liste

Fin Tant que Retourner

Conversion en binaire facile

Exemple

Convertissons 51 en base 2.

Comme et , la plus grande puissance de 2 « rentrant » dans 51 est 32.

On recommence avec : la plus grand puissance de 2 rentrant dans 19 est . Il reste alors .

Ainsi , d’où 51=110011

. L’algorithme précédent retourne la liste [32, 16, 2, 1].

Voici un algorithme plus simple à mettre en œuvre. Il retourne la liste des chiffres en base 2

d’un entier écrit en base 10, de la droite vers la gauche.

liste vide Tant que

reste de la division de par 2 Ajouter à

Fin Tant que Retourner

Tant que

reste de la division de par 2 Afficher

Fin Tant que

Conversion en binaire optimisée (avec liste)

Conversion en binaire optimisée (sans liste)

Par exemple, l’exécution de cet algorithme avec 6 renvoie la liste [0, 1, 1].

Comme en base 10, les puissances de 2 d’exposant négatif permettent d’écrire des nombres à virgule en base 2.

Exemple



est noté en base 2 ;



est noté en base 2 ;

 Le nombre 0,101 en base deux est égal à

en base 10.

 Numération en base 16

En base 16 on dispose de 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F.

Exemple

Le nombre 3C5

vaut en décimal.

Le nombre B,A

vaut

.

 Passage du décimal au binaire

Le nombre 13,375 a pour partie entière 13 et pour partie décimale 0,375

 Pour convertir la partie entière 13, on effectue les divisions euclidiennes successives par 2 jusqu’à obtenir 0 pour quotient.

13 2 1 6 2

0 3 2 1 1 2 1 0

L’écriture en binaire de 13 se lit en remontant la liste des restes : 13 = 1101

.

 Pour la partie décimale 0,375, on effectue des multiplications successives par 2 jusqu’à obtenir 1.

0,375 × 2 = 0,75 0,75 × 2 = 1,5

0,5 × 2 = 1 On ne retient que la partie décimale de 1,5 pour la multi- plication suivante.

Ainsi 0,375 = 0,011

et finalement 13,375 = 1101,011

.

Remarque. Reprenons ces calculs avec 13,4 au lieu de 13,375 et occupons-nous de la partie décimale.

0,4 × 2 = 0,8 0,8 × 2 = 1,6 0,6 × 2 = 1,2 0,2 × 2 = 0,4 0,4 × 2 = 0,8

On constate que nous n’obtiendrons jamais 1 lors des multiplications successives par 2. On a 13,4 = 1101,011001100110...

.

Se pose alors le problème de l’arrondi :

 Arrondi par défaut à 2

: 1101,011

.

 Arrondi par excès à 2

: 1101,1

.

 Arrondi au plus près à 2

: 1101,011

.

 Conversion hexadécimal/binaire

Chaque groupe de 4 bits en binaire est remplacée par son symbole en hexadécimal, et récipro- quement.

4. Nombres premiers

Définition. Un entier naturel est dit premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemple

Les entiers 0 et 1 ne sont pas premiers, pas plus que 4 ou 10.

Les entiers premiers inférieurs à 20 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

Le théorème suivant va nous aider à déterminer si un nombre donné est premier.

Théorème. Soit un entier naturel. Si aucun des entiers premiers compris entre 2 et ne divise , alors est premier.

Exemple

Les nombres 191 et 187 sont-ils premiers ?

 . On doit donc tester les diviseurs suivants : 2, 3, 5, 7, 11 et 13.

 191 n’est clairement pas divisible par 2, ni par 5.

 191 n’est pas divisible par 3 car n’est pas divisible par 3.



, donc 7 n’est pas un diviseur de 191.

 De même, 11 et 13 ne sont pas des diviseurs de 191.

Finalement, 191 est premier.

 , donc on teste si 187 est divisible par les entiers premiers inférieurs stric- tement à 14, à savoir : 2, 3, 5, 7, 11 et 13. On constate alors que 187 n’est pas premier puisque .

L’écriture sous forme d’algorithme est facile. Le suivant retourne Faux ou Vrai selon que l’entier est premier ou pas.

Pour de 2 à Si divise Retourner Faux Fin Pour

Retourner Vrai

Test de primalité 1

Si l’on veut éviter le recours à la fonction racine carrée, on peut utiliser une boucle « tant que ».

Tant que Si divise Retourner Faux Sinon

Fin Tant que Retourner Vrai

Test de primalité 2

 Recherche des diviseurs d’un entier

Les diviseurs s’associant deux à deux, la recherche des diviseurs pour un petit entier est ra- pide.

Exemple

Cherchons les diviseurs de 30. On a , donc on teste la divisibilités par 2, 3, 4 et 5.

diviseur potentiel 1 2 3 4 5

diviseur ? oui oui oui non oui

diviseur associé 30 15 10 6

Ainsi les diviseurs de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30.

Comme 1 et sont toujours des diviseurs de , on pourrait gagner une étape en commençant la boucle pour à 2.

Par ailleurs, si est un carré, on obtient deux fois le diviseur « central ». Voir les exercices.

 Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème. Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique (à l’ordre des facteurs près) en un produit de facteurs premiers.

Exemple

.

De cela on peut déduire tous les diviseurs de 90, ils sont de la forme avec , et . Ce sont :

1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

L’utilisation d’un arbre est conseillée pour ne pas en oublier.

Voici un algorithme retournant la liste des facteurs premiers d’un entier . Par exemple, pour l’entier 15, l’algorithme renverra [3,5] et pour 12 il renverra [2,2,3].

Pour de 2 à Si divise Retourner Retourner

fonction premier_diviseur(n)

liste vide Tant que

premier_diviseur(n) Ajouter à

Retourner

Algorithme de décomposition

 PGCD

Définition. Le plus grand diviseur commun de deux entiers et se note .

Exemple

Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 et ceux de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, donc .

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions.

Exemple

et , donc .

Définition. Deux entiers naturels sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1.

Exemple

28 et 15 sont premiers entre eux car leur décomposition en facteurs premiers n’a aucun

facteur commun : et .

5. Congruences

Exemple

Admettons qu’aujourd’hui nous soyons le mardi 3 octobre. Les autres mardis du mois d’octobre auront pour date : 10, 17, 24 et 31.

On passe d’un mardi à l’autre en ajoutant ou en enlevant un certain nombre de fois « 7 ».

On dit alors que tous ces nombres : 3, 10, 17, 24 et 31 sont congrus modulo 7.

Par exemple 10 est congru à 31 modulo, ou encore 17 est congru à 3 modulo 7. On écrira et .

Définition. Soit et deux entiers et un entier vérifiant .

On dit que est congru à modulo lorsque que (ou ) est divisible par . On note alors , ou , ou .

Exemple

On a car et est un multiple de .

Remarque. « est divisible par » revient à dire « ».

Exemple

Puisque , on a (et aussi ).

Théorème. La congruence équivaut à dire et ont le même reste dans la divi- sion euclidienne par .

Exemple

On a vu que et on a bien et .

D’après la définition, si est le reste de la division euclidienne de par , alors .

Exemple

Comme , on a .

Théorème (compatibilité des congruences avec l’addition et la multiplication). Soit , , , , des entiers avec .

Si et , alors 1. ;

2. ;

3. pour tout entier naturel .

Exemple

Soit un nombre ayant 8 pour reste dans la division euclidienne par 17 et ayant 11 pour reste dans cette même division. Cela se traduit par et .

Le théorème permet d’écrire

 , donc a pour reste 2 dans la divi-

sion euclidienne par 17 ;

 (car ), donc a pour reste 3 dans la division euclidienne par 17.

Exemple

Montrons que est divisible par 8.

On a , donc , ce qui montre que . Par conséquent il vient , ce qui prouve que est divisible par 8.

Exemple

Soit

. Comme , on a

. On déduit

, ce qui montre que est divisible par 3.