• Aucun résultat trouvé

Calcul du reste de la division euclidienne d’un entier naturel par 9

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Calcul du reste de la division euclidienne d’un entier naturel par 9"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Calcul du reste de la division euclidienne d’un entier naturel par 9

Exemple :

On cherche à calculer « à la main » le reste de la division euclidienne de 251456260809 par 9 sans poser la division.

On pose N251456260809. Pour la lecture, il est préférable d’écrire N251 456 260 809. On écrit la somme des chiffres de N :

2 5 1 4 5 6 2 6 0 8 0 9           . Dans cette somme, on barre les 0 et les 9.

2 5 1 4       5 6 2 6 0 8 09

2 5 1 4 5 6 2 6 8       

On associe les chiffres dont la somme fait 9.

4 5

1 8

5 6 2 6

2        .

On réécrit la somme en enlevant ces termes.

6 6 . Cette dernière somme est égale à 12.

On ajoute 1 et 2.

1 2 3

Le reste de la division euclidienne de N par 9 est égal à 3.

Justification :

On a raisonné modulo 9 et utilisé la propriété : « Tout entier naturel est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 ».

Pour trouver le reste d’une division euclidienne par 9, il suffit de remplacer le nombre à diviser par la somme de ses chiffres et de diviser cette somme par 9. On peut quasiment trouver le reste de tête.

La méthode fonctionne aussi pour la division euclidienne par 3.

Méthode plus rapide :

On ajoute les chiffres successifs de gauche à droite.

Quand on tombe sur 9, on remplace par 0.

Si le résultat donne un nombre à deux chiffres, on ajoute ces deux chiffres.

N251456260809

2 5 7 ; 7 1 8  , 8 4 12  → 1 2 3, 3 5 8, 8 6 14  → 1 4 5, 5 2 7, 7 6 13  → 1 3 4, 4 8 12  → 1 2 3

On ne compte pas les 0 et le 9.

Le reste de la division euclidienne de N par 9 est égal à 3.

Exercice :

Déterminer à la main le reste de la division euclidienne de 785486 par 9.

Solution :

Le reste de la division euclidienne de 785486 par 9 est le même que celui de 7 8 5 4 8 6     par 9, donc de 38 par 9, donc aussi de 3 8 par 9, donc de 11 par 9, donc de 1 1 2 par 9, c’est donc 2.

Variante : On additionne les chiffres deux par deux de gauche à droite.

Entraînement personnel :

Sur son site « Mathématiques magiques », Thérèse Éveilleau propose d’entrer un entier naturel dont l’écriture en base 10 comporte 30 chiffres au maximum.

On effectue dans sa tête le calcul et l’on vérifie le résultat.

Adresse de la page sur la page « Les clés de détection d’erreur » :

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/cles.htm

Références

Documents relatifs

En fait, pour que l'erreur ne soit pas détectée, il sut (et c'est nécessaire) d'ajouter à A un multiple de 97 , ce qui se fait dicilement involontairement du fait que 97 est

« au programme » de cet exercice d’arithmétique qui propose, classiquement désormais, comme application des résultats intermédiaires un travail de décodage où la calculatrice peut

Dans les questions 2 et 3, on étudie une approche plus itérative (on dirait « algorithmique » désormais) en montrant que l’on peut étudier, dans la division par 9, la somme

Il convient, dans un premier temps d’étudier la factorisation du polynôme S puis d’exprimer et d’exploiter les hypothèses fournies.. Or, par hypothèse, ce reste

[r]

[r]

Le reste de la troisième peut alors être obtenue en choisissant des valeurs judicieuses

Déterminer tous les entiers naturels n tels que dans la division euclidienne de n par 13, le quotient est égal au double du reste (on donnera, dans chaque cas, la