Arithmétique dans Z
Plan du chapitre
1 Divisibilité dansZ . . . .page 2 1.1Définitions . . . page 2 1.2Propriétés de la divisibilité . . . page 2
2 Division euclidienne dansZ. . . .page 4
3 PGCD - PPCM . . . .page 6 3.1PGCD . . . page 6 3.1.1 Définition du PGCD . . . page 6 3.1.2 L’algorithme d’Euclide . . . page 7 3.1.3 Propriétés du PGCD . . . page 9 3.2PPCM . . . page 10 3.2.1 Définition du PPCM . . . page 10 3.2.2 Propriétés du PPCM . . . .page 11
4 Nombres premiers entre eux. Théorèmes de Bézout etGauss . . . .page 11 4.1Nombres premiers entre eux . . . page 11 4.2Théorème deBézout . . . page 12 4.3Lemme de Gauss . . . page 14 4.4Quelques conséquences des théorèmes deBézoutetGauss . . . page 14 4.5Résolution dansZ2de l’équation ax+by=c. . . page 15
5 Nombres premiers. Décomposition primaire . . . .page 17 5.1Définition des nombres premiers . . . page 17 5.2Quelques propriétés des nombres premiers . . . page 18 5.3Le théorème fondamental de l’arithmétique . . . page 19 5.4Infinité de l’ensemble des nombres premiers . . . .page 20 5.5Tester si un nombre est premier. Le crible d’Eratosthène . . . page 20 5.5.1 Tester si un nombre est premier. . . page 20 5.5.2 Le crible d’Eratosthène . . . .page 21 5.6Décomposer un entier en produit de facteurs premiers . . . page 24 5.7Quelques applications du théorème fondamental de l’arithmétique . . . page 24
6 Congruences . . . .page 26 6.1Définition . . . page 26 6.2Calculs avec des congruences . . . page 27 6.3Le petit théorème deFermat . . . page 29 6.4Quelques critères de divisibilité . . . page 31
1 Divisibilité dans Z
1.1 Définitions
Définition 1.
1)Soientaet bdeux entiers relatifs tels quea6=0.
On dit quea divisebou queaest undiviseur debsi et seulement si il existe un entier relatifqtel queb=qa.
Il revient au même de dire queadivisebou quebestdivisible par a.
Quandadiviseb, on écrita|bet quanda ne divise pasb, on écrita6| b.
2)Soientaet bdeux entiers relatifs.
best unmultiple deasi et seulement si il existe un entier relatif qtel queb=qa.
Si de plus,a6=0,best multiple deasi et seulement siadiviseb.
Notation.Siaest un entier relatif, l’ensemble des multiples deaest l’ensemble des nombres de la formeqaoùqest un entier relatif. Il se noteaZ:
aZ={qa, q∈Z}={. . . ,−2a,−a, 0, a, 2a, . . .}.
De même, l’ensemble des diviseurs dease note div(a)ouD(a).
Exemples.2divise6car6=3×2avec3entier relatif.4divise−4car4= (−1)×(−4)avec−1entier relatif.1divise5 car5=5×1 avec5entier relatif.1divise0 car0=0×1avec0entier relatif. ❏
1.2 Propriétés de la divisibilité
Théorème 1.
1)∀a∈Z∗,a|(−a)et(−a)|a.∀a∈Z, −aest un multiple dea etaest un multiple de−a.
2)∀(a, b)∈Z×Z∗,b|a⇔(−b)|a⇔b|(−a)⇔(−b)|(−a).
Démonstration.
1)Soitaun entier relatif non nul.−a=a×(−1)avec−1∈Z. Donc,a|(−a). Ensuite, en appliquant le résultat précédent à l’entier
−a, on a aussi−a|a.
Soienta∈Zetb∈Z∗. Sib|a, il existeq∈Ztel quea=bq. Mais alors,a= (−b)(−q)avec−q∈Zet donc−bdivisea. Ensuite,en appliquant à l’entier relatif non nul−b, on a aussi le fait que si−b|a, alorsb|a.
Enfin, en appliquant aux entiers±aet/ou±b, on obtient les deux autres équivalences.
❏
Théorème 2.
1)∀a∈Z, les diviseurs dea sont les diviseurs de|a|.
2)∀a∈Z, les multiples deasont les multiples de|a|.
Démonstration.
1)Soita∈Z. D’après le théorème 1, sibest un entier relatif divisanta, alorsbdiviseaet−aet doncbdivise|a|. Inversement, si best un entier relatif divisant|a|,bdiviseaqui est l’un des deux entiers|a|ou−|a|.
2)Soita∈Z. Sib=qa,q∈Z, alorsb= (sgn(a)q)|a|avec sgn(a)q∈Zet sib=q|a|,q∈Z, alorsb= (sgn(a)q)a.
❏
Dans le théorème qui suit,6désigne la relation d’ordre usuelle dansN∗ ouZ∗. Théorème 3.
Soita∈N∗.∀b∈N∗,(b|a⇒b6a)(tout diviseur deadansN∗ est inférieur ou égal àa).
Soita∈N∗.∀b∈Z∗,(b|a⇒b6a)(tout diviseur deadansZ∗ est inférieur ou égal àa).
Soita∈Z∗.∀b∈Z∗,(b|a⇒|b|6|a|).
Soita∈N∗. Tout multiple strictement positif deaest supérieur ou égal àa.
Démonstration. Soit(a, b)∈(N∗)2. Sibdivisea, alors il existeq∈N∗tel quea=qb. On en déduit que
a=qb>1×b=b.
Si maintenantbest strictement négatif, alorsb60 < aet en particulierb6a.
Enfin, si(a, b)∈(Z∗)2,best un diviseur de|a|et doncb6|a|.−best aussi un diviseur de|a|et donc−b6a. Finalement,|b|6|a|.
❏
Théorème 4.∀(a, b)∈Z∗×Z,a|b⇔bZ⊂aZ.
Démonstration. Soit(a, b)∈Z∗×Z.
•Supposons quea|b. Il existeq∈Ztel queb=qa. Soit alorsk∈Z.
kb=kqa= (kq)a∈aZ.
Donc,bZ⊂aZ.
•Supposons quebZ⊂aZ. En particulier, puisqueb=1×b∈bZ, on en déduit queb∈aZet donc il existeq∈Ztel queb=aq.
Mais alors,a|b.
❏
➱ Commentaire. Le théorème précédent dit que si un entier non nul adivise un entierb, alors l’ensemble des multiples de b est contenu dans l’ensemble des multiples dea. Par exemple, l’entier3divise l’entier6et donc tout multiple de6est en particulier un multiple de3.
Théorème 5.
1)Pour touta∈Z∗,a|0. Pour touta∈Z,0 est multiple dea.
2)Pour touta∈Z,1|a. Pour touta∈Z,a est multiple de1.
Démonstration.
1)Soita∈Z∗.0Z={0}⊂aZet doncadivise0ou encore0est multiple dea. Cette dernière affirmation reste claire quanda=0.
2)Soita∈Z.aZ⊂Z=1Zet donc1|aou encoreaest multiple de1.
❏ Théorème 6.
1)∀a∈Z∗,a|a(la relation de divisibilité dansZ∗ ou dansN∗ est réflexive).
2) a)∀(a, b)∈(N∗)2, (a|betb|a)⇔a=b(la relation de divisibilité dansN∗ est anti-symétrique).
b)∀(a, b)∈(Z∗)2,(a|betb|a)⇔b=aoub= −a.
3) ∀(a, b, c)∈ Z∗×Z∗×Z, (a|betb|c) ⇒a|c (et en particulier, la relation de divisibilité dans Z∗ ou dansN∗ est transitive).
La relation de divisibilité est une relation d’ordre surN∗ et n’est pas une relation d’ordre surZ∗. Démonstration.
1)Soita∈Z∗.a=1×aavec1∈Zet donca|a(ou aussiaZ⊂aZet donca|a).
2) a)Soit(a, b)∈(N∗)2. Siadivisebetbdivisea, alors d’après le théorème 3,b6aeta6bet finalementa=b. Réciproquement, sia=b, alorsa|betb|a.
b)Soit(a, b)∈(Z∗)2. Sia divisebet bdivisea, alors|a|divise|b|et|b|divise|a|puis|a|=|b|d’après ci-dessus. Ainsi,b=aou b= −a. Réciproquement, sib=aoub= −a, alorsadivisebet bdivisead’après le théorème 1.
3)Soient(a, b, c)∈Z∗×Z∗×Z. Siadivisebet bdivisec, alors il existe deux entiers relatifsqetq′ tels queb=qaetc=q′b.
Mais alors,c= (qq′)aavecqq′∈Zet doncadivisec.
❏ Théorème 7.Soit(a, b, c)∈Z×Z×Z∗.
(c|aetc|b)⇒∀(u, v)∈Z2, c|(au+bv).
Démonstration. Soient(a, b, c)∈Z×Z×Z∗. Soit(u, v)∈Z2. Sicdiviseaetcdiviseb, alors il existe deux entiers relatifs qet q′ tels quea=qcetb=q′c. Mais alorsau+bv= (uq+vq′)cavecuq+vq′∈Z2et donccdiviseau+bv.
❏
➱ Commentaire.
⋄ Le théorème précédent peut se réexprimer en terme d’ensembles de multiples : siaZ⊂cZetbZ⊂cZ, alors(au+bv)Z⊂cZou encore siaetbsont des multiples commun dec, alors tout nombre de la formeau+bvoù uetvsont des entiers relatifs, est un multiple commun decou aussi sicest un diviseur commun àaetb, alors cdivise tout nombre de la formeau+bv,(u, v)∈Z2.
⋄ Ce dernier résultat est très utilisé dans la pratique. Un exemple d’utilisation est fourni par l’exercice suivant.
Exercice 1.Trouver tous les entiers naturelsntels que 2n+3 divise3n+7.
Solution 1.Soitn∈Ntel que2n+3divise3n+7. Alors, puisque2n+3divise à la fois2n+3et3n+7,2n+3divise encore2(3n+7) −3(2n+3) =5. Puisque2n+3est un entier naturel, on a donc nécessairement2n+3=1ou2n+3=5 puisn= −1 oun=1 puisn=1carnest un entier naturel.
Réciproquement, sin=1, alors2n+3=5 et3n+7=10=2×5. Donc, si n=1, 2n+3divise effectivement3n+7.
Il existe un et un seul entier naturelntel que 2n+3divise3n+7à savoirn=1.
2 Division euclidienne dans Z
On commence par le cas où on divise par un entier naturel non nul.
Théorème 8.Soit(a, b)∈Z×N∗. Il existe un couple(q, r)d’entiers relatifs et un seul tels que a=bq+r et 06r < b.
q s’appelle lequotientde la division euclidienne de l’entier relatif apar l’entier naturel non nul b et r s’appelle le restede la division euclidienne deaparb.
Démonstration.
Existence.Soit(a, b)∈Z×N∗. Soientq=Ea b
(oùEdésigne la partie entière) puisr=a−bq.qetrsont deux entiers relatifs tels quea=bq+r. De plus,
q=Ea b
⇒q6 a
b< q+1
⇒qb6a < qb+b(carb > 0)
⇒06a−bq < b
⇒06r < b.
Donc, le couple(q, r)convient.
Unicité.Soit(a, b)∈Z×N∗. Soit(q, q′, r, r′)∈Z4tels quea=bq+r=bq′+r′et06r < bet06r′< b. Alors,bq+r=bq′+r′ puisb(q−q′) =r′−rpuis|r′−r|=b|q−q′|.
Puisque06r < bet06r′< b, on a encore−b < r−r′< bet aussi−b < r′−r < bet donc|r−r′|< b. Siq6=q′, alors|q−q′|>1 puis|r′−r|=b|q−q′|>bce qui est faux. Donc,q=q′puisr=r′. Ceci montre l’unicité du couple(q, r).
❏
➱ Commentaire.
⋄ La division euclidienne est la division où « on ne poursuit pas après la virgule ». Elle se présente dans les petites classes sous la forme
50 13
3 11
De manière générale, elle s’écrit
a b
q r
⋄ Six= a
b est un rationnel non nul aveca∈Z∗etb∈N∗, la division euclidienne dea parbpermet de décomposerxen somme de sa partie entière et de sa partie décimale. Plus précisément, sia=bq+rabec06r < b(et qetrentiers relatifs), alors
x=a
b=q+ r b où cette fois-ci06 r
b< 1. Par exemple
50
13 =3+11 13.
Théorème 9.Soit(a, b)∈Z×Z∗. Il existe un couple(q, r)d’entiers relatifs et un seul tels que a=bq+r et 06r <|b|.
Démonstration.
Existence.Soit(a, b)∈Z×Z∗. Le résultat est déjà connu si b > 0. Soient doncaetbdeux entiers relatifs tels queb < 0. Soit b′= −b.
La division euclidienne de−aparb′fournit un couple(q′, r′)d’entiers relatifs tel que−a=q′b′+r′ et06r′ < b′. Ceci s’écrit encorea=q′b−r′ avec06r′<−b=|b|. Sir′=0, le couple(q, r) = (q′, 0)convient. Sinon, on a0 < r′ <−bpuisb <−r′< 0.
On pose alorsr= −r′−bde sorte que0 < r= −r′−b <−b=|b|. On pose ensuiteq=q′+1∈Zet on a bq+r=b q′+1
−r′−b=bq′−r′=a.
Le couple(q, r) = (q′+1,−r′−b)convient.
Unicité.La démonstration du théorème précédent peut être reproduite quasiment à l’identique en remplaçantbpar|b|. ❏
➱ Commentaire. Par exemple, la division euclidienne de7par−3s’écrit7= (−2)×(−3) +1(le quotient est−2qui n’est pas la partie entière de 7
−3) et la division euclidienne de−11par−4s’écrit−11=3×(−4) +1(le quotient est3qui n’est pas la partie entière de −11
−4).
Exercice 2.Pour n∈N∗, on poseMn =2n−1 (nombres deMersenne). Effectuer la division euclidienne deMp
parMn pour netpentiers naturels non nuls tels quep > n.
Solution 2. Soit (n, p) ∈ (N∗)2 tel que n < p. La division euclidienne de p par n s’écrit p = nq+r où q ∈ N∗ et r∈J0, n−1K.
Mp=2p−1=2qn+r−1= (2n)q×2r−1=2r (2n)q−1
+ (2r−1)
= (2n−1)
1+2n+ (2n)2+. . .+ (2n)q−1
2r+ (2r−1) (on rappelle queq∈N∗)
=QMn+R
oùQ=
1+2n+ (2n)2+. . .+ (2n)q−1
2rest un entier (carq∈N∗) etR=2r−1=Mr est un entier. De plus, 06r < n⇒162r< 2n ⇒062r−1 < 2n−1⇒06Mr< Mn.
Le quotient de la division euclidienne deMp parMn est
1+2n+ (2n)2+. . .+ (2n)q−1
2r et le reste estMroùq et rsont le quotient et le reste de la division euclidienne depparn.
Sinon, un résultat évident mais qui doit être énoncé explicitement est :
Théorème 10.Soit(a, b)∈Z×Z∗.bdiviseasi et seulement si le reste de la division euclidienne deaparbest nul.
Démonstration. Soit(a, b)∈Z×Z∗. Sibdivisea, il existe un entier relatifqtel quea=bq. Mais alors,a=bq+ravec r=0∈J0, b−1K. Le reste de la division euclidienne debparaest donc0.
Réciproquement, si le reste de la division euclidienne debparaest nul, cette division euclidienne s’écrita=bqoùqest un entier relatif et doncbdivisea.
❏
3 PGCD - PPCM
Dans tout ce qui suit, nous aurons besoin du résultat intuitif suivant que l’on admet et qui est une conséquence de l’axiome de récurrence :
Théorème 11.Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. Toute partie non vide et majorée deNadmet un plus grand élément.
3.1 PGCD
3.1.1 Définition du PGCD
Théorème 12.Soientaetbdeux entiers relatifs tous deux non nuls. Il existe un entier naturel et un seul qui est un diviseur commun àaet àbet qui est plus grand (au sens de la relation d’ordre usuelle6) que tout diviseur commun àaet àbdansZ.
Démonstration. Soit(a, b)∈(Z∗)2.
Existence.SoitE= {d∈N∗/ d|aetd|b}. Eest une partie non vide deN car 1est un entier naturel non nul qui est un diviseur commun àa et à b et donc1∈ E. D’autre part, tout diviseur commun à a et b dansN∗ est majoré par Min{|a|,|b|} d’après le théorème 3.
Eadmet donc un plus grand élément qui est par définition un entier naturel non nul, diviseur commun àaet àbet plus grand que tout diviseur commun àaet àbqui est strictement positif. Mais alors, Max(E)est plus grand que tout diviseur commun àaet à bdansZcar Max(E)> 0.
Unicité.Un diviseur commun à aet àbet plus grand que tout diviseur commun àaet àbest nécessairement le maximum deE et on sait qu’un maximum est unique.
❏ Définition 2.Soient aetbdeux entiers relatifs non nuls.
Le plus grand diviseur commun àaet àbse note PGCD(a, b)ou aussia∧b.
On a défini le PGCD de deux entiers relatifs non nuls. On peut élargir cette définition au cas où l’un des deux entiers relatifsa oub est nul sans que l’autre ne le soit : si a > 0, tout entier non nul divise 0 et donc, il existe un et un seul entier naturel non nul divisant à la foisaetb=0et plus grand que tous les autres à savoiralui-même. Donca∧0=a.
Plus généralement, sia∈Z∗,a∧0=|a|.
Par contre, on ne peut pas élargir encore au cas oùa=b=0car dans ce cas, tout entier naturel non nul divise à la fois aetbet il n’y a donc pas de plus grand diviseur commun.
En raison de ces complications, nous donnerons la plupart des résultats sur le PGCD en excluant le cas où l’un des deux nombresaoubest nul.
Un premier résultat, qui permet de se ramener au cas oùa > 0etb > 0, est : Théorème 13.∀(a, b)∈(Z∗)2,a∧ b=|a|∧|b|.
Démonstration. Soit (a, b) ∈ (Z∗)2. D’après le théorème 2, les diviseurs communs à a et àb sont encore les diviseurs communs à|a|et|b|et en particulier,a∧b=|a| ∧ |b|.
❏
3.1.2 L’algorithme d’Euclide
On commence par le « lemme d’Euclide» :
Théorème 14.Soient(a, b, q, r)∈Z4tel que a6=0,b6=0,r6=0et a=bq+r.
Alorsa ∧b=b∧r.
Démonstration. Soitdun entier relatif non nul. Siddiviseaetb, alorsddivisebeta−bq=rd’après le théorème 7 et si ddivisebetr, alorsddivisebet ddivisebq+r=a.
Donc, div(a)∩div(b) =div(b)∩div(r). En particulier, Max(div(a)∩div(b)) =Max(div(b)∩div(r))ou encorea∧b=b∧r.
❏ Nous allons maintenant utiliser ce résultat pour déterminer de manière algorithmique le PGCD de deux entiers. L’algo- rithme ci-dessous s’appelle l’algorithme d’Euclide.
Commençons par un exemple. Déterminons le PGCD dea=1386et b=270. La division euclidienne deaparbs’écrit 1386=5×270+36
et le théorème 14 nous permet alors d’affirmer que1386∧ 270=270∧ 36. La division euclidienne de 270par36s’écrit 270=7×36+18
et donc1386∧270=270 ∧ 36=36 ∧18. Maintenant, puisque36=2×18, 18divise36 et donc le plus grand diviseur commun à18et 36est18. Finalement
1386∧270=270∧36=36∧18=18.
Passons au cas général. On se donne deux entiers naturels non nulsaetbtels quea < b. Posonsr0=aet r1=b. On a doncr1< r0.
• La division euclidienne der0=aparr1=bs’écrit
r0=r1×q0+r2 avec 06r2< r1.
Si r2=0, r1=bdiviser0=a. Le plus grand diviseur commun àaet best doncr1=b.
Sinon,16r2< r1et d’après le théorème 13,a∧b=r0 ∧r1=r1∧ r2.
• On pose alors la division euclidienne der1 parr2qui s’écrit
r1=r2×q1+r3 avec 06r3< r2. Si r3=0, r2diviser1et donca∧ b=r0 ∧r1=r1∧ r2=r2.
Sinon,16r3< r2et on pose la division euclidienne der2parr3.
•De manière générale, pourk∈Ntel que les restesr0, . . . ,rk+1ne soient pas nuls, on pose la division euclidienne de rk parrk+1. Elle fournit un quotient qk∈Net un resterk+2∈Ntels que
rk=rk+1×qk+rk+2 avec 06rk+2< rk+1. On a alorsa ∧b=r1∧r2=. . .=rk ∧ rk+1 avecr0> r1> . . . > rk> rk+1.
• S’il n’existe aucun reste nul, on obtient une suite de reste(rk)k∈Nqui est une suite d’entiers naturels strictement décroissante. Mais une telle suite n’existe pas car dans le cas contraire, pour toutk∈N,rk+16rk−1puis, par récurrence, pour toutk∈N,rk6r0−k, ce qui entraine lim
k→+∞
rk = −∞et est absurde (puisque∀k∈N,rk>0).
Donc, il existe un reste qui est nul ou encore l’algorithme que l’on vient de mettre en place, s’arrête.
Soitrk0+2,k0∈N, ce premier reste nul. On ark0 =rk0+1×qk0 et doncrk0+1 diviserk0 puisrk0 ∧ rk0+1=rk0+1. Mais alors,
a∧b=r0∧r1=r1∧r2=. . .=rk0∧rk0+1=rk0+1.
Ainsi, le PGCD deaet best ledernier reste non nuldans l’algorithme d’Euclide. On peut énoncer :
Théorème 15.Soient(a, b)∈(N∗)2tel quea > b. On pose r0=a,r1=bpuis pour k∈N, tant querk+16=0, on poserk=qkrk+1+rk+2 où(qk, rk+2)∈(N∗)2 et06rk+2< rk+1.
•il existe un premier reste nul
•le PGCD deaet debest le dernier reste non nul.
Exercice 3.Déterminer le PGCD de 273 et 455
Solution 3.Déterminons PGCD(455, 273)par l’algorithme d’Euclide. 455=1×273+182
273=1×182+91 182=2×91+0.
Le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclideest91et donc PGCD(455, 273) =91.
Exercice 4.Pour n∈N∗, on poseMn=2n−1. Montrer que
∀(n, p)∈(N∗)2, Mp∧Mp=Mn∧p.
Solution 4.Soit(n, p)∈(N∗)2tel que n < p. La division euclidienne depparns’écritp=nq+r oùqetr sont deux entiers naturels. D’après l’exercice no2, la division euclidienne de Mp parMn s’écrit
Mp=QMn+Mr (∗) oùQest un entier naturel et06Mr< Mn. De plus,
Mr=0⇔2r=1⇔r=0 (∗∗).
Posons r0 = p, r1 = n puis pour k ∈ N, tant que rk+1 6= 0, posons rk = rk+1qk+rk+2 où qk et rk sont des entiers naturels tels que 0 6 rk+2 < rk+1. Posons encore R0 = Mp, R1 = Mn puis pour k ∈ N, tant que Rk+1 6= 0, posons Rk=Rk+1Qk+Rk+2oùQk et Rk sont des entiers naturels tels que06Rk+2< Rk+1.
(∗)et (∗∗)montrent que les deux algorithmes s’effectuent en parallèle : pour tout k∈N, tant querk+16=0, on a encore Rk+16=0 etRk+2=Mrk+2.
Le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide appliqué àp et nest alorsrk0+1 =n∧ pet le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclideappliqué àMpetMn est Rk0+1=Mrk0+1 =Mn∧p.
Ceci montre queMn ∧Mp=Mn∧p.
A partir, de l’algorithme d’Euclide, on obtient une propriété importante du PGCD.
Théorème 16.Soit(a, b)∈(Z∗)2.
Il existe(u, v)∈Z2tel que a∧b=au+bv.
Démonstration.
•Commençons par supposer que(a, b)∈(N∗)2etb6a. Sibdivisea, alors il existeq∈Ztel quea=bq. Dans ce cas, a∧b=b=0×a+1×bet il existe donc des entiers relatifs uetvtels quea∧b=au+bv.
Sinon,b ne divise pas a et l’entier k0 de l’algorithme d’Euclide appliqué àa et à b est supérieur ou égal à1. Cet algorithme s’écrit :∀k∈J0, k0K,rk=rk+1qk+rk+2avec06rk+2< rk+1(etrk0+2=0). On sait alors quea∧b=rk0+1.
A partir de l’égalitérk0−1=rk0qk0+rk0+1, on exprimea∧b=rk0+1sous la forme a∧b=rk0+1=rk0−1uk0−1+rk0vk0−1
oùuk0−1=1et vk0−1= −qk0 sont des entiers relatifs. Puis en remontant dans l’algorithme, par récurrence, on peut écrirea∧b sous la forme
a∧b=rkuk+rk+1vk
oùk∈J0, k0−1Ketuk etvksont des entiers relatifs. En particulier, il existe deux entiers relatifsuetvtels que
