nul par PARTIEItr : : : :0 :0

2014

P

P

P

P

P

-

^:

3l)

On en déduit que la fonction F

A)

est de classe C2 sur

IR

B)

^est de classe C2 sur

IR*

C) vérifie

sur

IR*

l'équation

differentielle F,'-

4n2F

:0

D) vérifie

sur

IR

l'équation

différentielle F',+

4t?F

:0

32) e désignant la fonction exponentielle, on établit que

A)

la solution générale de

l'équation

différentielle du second ordre vérifiée _{par F est}

définieparF(x) :6"-2u

+

B e2*pourtoutrréel oùA etB

sont deux constantes

B)

la solution générale de

l'équation

différentielle du second ordre vérifiée par F est

définie

sur ]O,+oc[ par F(x) =

Ar

e-Ztu +

Br

e2'*

et sur

]-*,0[

^{par F(x)}

:

A2 e-Zi*

*

Bz eztu où A1, Ae, Br, 82 sont des constantes

C) la fonction F est définie par F(x)

:

TEe-2* pour tout x réel

D)

la fonction _F est

définie

sur 10,+æ[ ^{par F(x)}

: _n{2*

et sur

]-*,0[

^{par F(x)}

: _né*

car la fonction F est de

limite nulle

à

I'infini,

continue et de valeur n en 0

PARTIEItr

33) On établit, en utilisant les notations de Landau, que

A) u*r -

^un

- el(2n2))

^{+ o(Un2)}

B) ur*, -

^un

: (-ll(2n2))

+

o(llnz)

C)

la suite

(ur)

converge car elle est de même nature que la série de terme général

(u*r - ^ur)

dont on montre la convergence, par application du critère des équivalents, comme série à termes positifs à

partir d'un

certain rang

D)

la suite

(u,)

diverge

n désigne un entier

naturel,ln

désigne la fonction logarithme népérien et e désign" tu

fo*,ti*

exponentielle.

On considère la suite

(u,)

définie

par

n

pour tout n entier naturel non

nul ur:

Çrt/k) - ^ln(n)

Pour x réel strictement

positif,

on considère

l'application g

définie par g,(r)

: (ln(r))/(/)

pour tout / appartenant à

l'intervalle

I:]O,+oc[

12

2011

2011

34)La

fonction g,

A)

^est dérivable sur

I

et sa dérivée est définie par

&'(r) : _llf*t

_{pour tout}

_/

appartenant à

I

B)

est dérivable sur

I

et sa dérivée est définie par

g,,(/) : (l-rln(/))//+r

pour tout

I

appartenant à

I

C)

est croissante sur

I

D)

est croissante sur 10,e1/'] et décroissante sur [el/,,+æ1

35) On pose, pour tout n entier naturel non nul

r, :(ln _n)/n.

_Ondéduit de la question précédente que

A)

pour tout entier n supérieur ou égal

a+,f,.ir<Odt

<

r,<

l,ïr"

B)

pour tout entier n supérieur ou égal a

+,f

_err0at <r,<

fi{ùat

c)

^pour tout entier

z

supérieur ou égal à 4 on a rn<

((ln

ⁿ¹²

-en(n-Dhl2

^et

pour tout entier n supérieur ou égal à 3 on a

((ln(n+l)), -(tn

^n12yl<

r,

D) pour tout entier n supérieur ou égal à 4 on a ((ln _n)2

-

^(ln(n

-l

^{)) 21 / z< r, <11 ln(z+ I} ))2

-(tn

^{n)21 I 2}

36)La

série de terme général

(-l)"r,, n

entiernaturel non

nul

A)

^est divergente

B)

est une série alternée absolument convergente

C)

est, d'après le critère spécial des séries alternées, convergente car la suite

(r,)

est à termes positifs, décroissante à partir du rang 3 et de rimite nulle

D)

n'est pas absolument convergente car pour tout

n

entier supérieur ou égal

à3,r,

est minoré par

lln,

terme général d'une série positive _divergente

13

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37) Pour n, entier nafurel non nul, on considère les fonctions

v,

etwndéfinies sur

I'intervalle

J

:

[1,+oc[ respectivement

par

_n+t

y,(x) : (llrf)- (1/(n+1).) et wn(x): (Un') -),Onar.

^{On a}

A)

pour tout entier n supérieur ou égal 3, la dérivée vn'de v, est négative sur J car la fonction g, décroit sur

l'intervalle [el/',+oc[

^puisque x est supérieur ou égal à

I

B)

pour tout entier

z

supérieur ou égal 3, la dérivée vr'de vn est positive sur J car la fonction g;

croit

sur

l'intervalle [el/',+æ[

^{puisque x} est supérieur ou égal

à I

c)

^pour tout entier n supérieur ou égal 3, la fonction v, est croissante sur J

D)

pour tout entier n supérieur ou égal 3, la fonction v, est croissante sur

[1,3[

et décroissante sur _[3,+oc1

38) La série de fonctions de terme général vr,

n

erttier naturel non nul,

A)

est divergente sur

l'intervalle

J

B)

est convergente sur J mais n'est pas absolument convergente sur cet intervalle J

C)

est normalement convergente sur J car pour tout n entier supérieur ou égal à 3 et pour tout x appartenant à J on a 0< v,(x)

<v"(l):ll(n(n+l))

terme général d'une série numérique convergente

D)

ne converge pas normalement sur J

39) Pour torfi n entier naturel non nul, Ia fonction

w, A)

est continue sur _] l,+oc[ mais n'est ^pas continue sur J

B)

est continue sur J car la fonction

((n+1)'-n')lu

tendvers

ln(n+l) -

^ln

ⁿ

^{qtand u}

tend vers 0

C) vérifie, pour tout x appartenant à J, 0 <

v,(x)

Swn(x)

D)

vérifie, pour tout x appartenant à J, 0 < wr@)

sv,(x)

car,pour.r supérieur ou égal à

l,

^la

fonctionl/f

décroit sur

l'intervallefn,n+ll

40)La

série de fonctions de terme général w,,

n

entier naturel non nul

A)

est divergente sur

l'intervalle

J

B)

^est normalement convergente sur _]

l,+oc[

car

pour

tout n entier supérieur ou égal à 3 et pour tout x appartenant à _] 1,+oc[ on a

0s w,(x) s U(n(n+l)),

mais elle ne converge pas au point

x:l

C)

a pour soflrme une fonction

W

continue sur J comme sofirme d'une série de fonctions continues et normalement convergente sur J

D)

a pour somme une fonction V/ continue sur _] 1,+oc1 mais qui n'est pas continue sur J

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