On notera 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans tout le problème

¹

, E est un R-espace vectoriel de dimension 3.

On notera 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.

Pour deux matrices A et B de M 3 ( R ) , on dira que la matrice A est semblable à la matrice B s'il existe une matrice P ∈ GL 3 ( R ) telle que

B = P

⁻¹

AP

On notera A ∼ B lorsque la matrice A est semblable à la matrice B .

L'objet de ce problème est d'étudier des exemples de matrices semblables à leur inverse.

Partie A

1. Montrer que la relation ∼ est une relation d'équivalence sur M 3 ( R ) .

2. Montrer que deux matrices de déterminants diérents ne sont pas semblables.

3. Soit u un endomorphisme de E et i , j deux entiers naturels. On considère l'application w de ker u

^i+j

vers E dénie par :

w(x) = u

^j

(x) a. Montrer que Im w ⊂ ker u

ⁱ

.

b. En déduire que

dim(ker u

^i+j

) ≤ dim(ker u

ⁱ

) + dim(ker u

^j

) 4. Soit u un endomorphisme de E vériant u ³ = 0 et rg u = 2 .

a. Montrer que dim(ker u ² ) = 2 .

b. Montrer qu'il existe un vecteur a tel que u ³ (a) 6= 0 et que la famille (u ² (a), u(a), a) est alors une base de E .

c. Écrire la matrice U de u et la matrice V de v = u ² − u dans cette base.

Partie B

Dans la suite de ce problème, la matrice A de M 3 ( R ) est semblable à une matrice du type

T =





1 α β 0 1 γ 0 0 1





1

d'après Mines Albi,Alès,... 2002 MPSI

On se propose de montrer que A est semblable à son inverse A

⁻¹

. On pose

N =





0 α β 0 0 γ 0 0 0





et soit P ∈ GL 3 ( R ) telle que

P

⁻¹

AP = T = I 3 + N 1. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible.

2. Calculer N ³ et montrer que

P

⁻¹

A

⁻¹

P = I 3 − N + N ²

3. On suppose dans cette question que N = 0 . Montrer alors que les matrices A et A

⁻¹

sont semblables.

4. On suppose dans cette question que rg(N ) = 2 . On pose M = N ² − N . a. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice





0 1 0 0 0 1 0 0 0





et en déduire une matrice semblable à la matrice M . b. Calculer M ³ et déterminer rg(M ) .

c. Montrer que les matrices M et N sont semblables.

d. Montrer que les matrices A et A

⁻¹

sont semblables.

5. On suppose dans cette question que rg(N ) = 1 . On pose M = N ² − N . Montrer que les matrices A et A

⁻¹

sont semblables.

6. Exemple. Soit la matrice

A =





1 0 0

0 0 −1

0 1 2





On note (a, b, c) une base de E et u l'endomorphisme de E de matrice A dans cette base.

a. Montrer que ker(u − Id

E

) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une base (e ₁ , e ₂ ) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aalglin12

MPSI B 29 juin 2019

b. Justier que la famille (e 1 , e 2 , c) est une base de E et écrire la matrice de u dans cette base.

c. Montrer que les matrices A et A

⁻¹

sont semblables.

d. Réciproquement, soit

T =





1 α β 0 1 γ 0 0 1





Toute matrice de M 3 ( R ) semblable à son inverse est-elle semblable à une matrice de la forme T ?

Corrigé

Partie A

1. Pour montrer que ∼ est une relation d'équivalence, on doit montrer que la relation est réexive, symétrique est transitive.

Réexive. A ∼ A car on peut choisir P = I (matrice unité).

Symétrique. Si ∼ B , il existe P inversible telle que B = P

⁻¹

AP ⇒ A = Q

⁻¹

BQ avec Q = P

⁻¹

inversible donc B ∼ A .

Transitive. Si A ∼ B et B ∼ C , il existe des matrices inversibles P et Q telles que B =P

⁻¹

AP

C =Q

⁻¹

BQ )

⇒ C = (Q)

⁻¹

(P )

⁻¹

A(P Q) = (P Q)

⁻¹

A(P Q)

donc C ∼ A car P Q est inversible.

2. Il s'agit en fait de montrer que deux matrices semblables ont le même déterminant.

Cela résulte de ce que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants.

B = P

⁻¹

AP ⇒ det(B) = det(P

⁻¹

AP ) = det(P

⁻¹

) det(A) det(P )

= det(A) det(P) det(P

⁻¹

) = det(A) det(P P

⁻¹

) = det(A)

3. a. Si x ∈ Im w , il existe y ∈ ker(u

^i+j

) tel que

x = w(y) = u

^j

(y) ⇒ u

ⁱ

(x) = u

^i+j

(y) = 0

_E

donc x ∈ ker u

ⁱ

. Ceci prouve

Im w ⊂ ker u

ⁱ

b. Appliquons à w le théorème du rang :

dim(ker u

^i+j

) = dim(ker w) + dim(Im w) avec

ker w = ker u

^i+j

∩ ker u

^j

= ker u

^j

et Im w ⊂ ker u

ⁱ

. On en déduit

dim(ker u

^i+j

)‘ dim(ker u

ⁱ

) + dim(ker u

^j

)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai Aalglin12

MPSI B 29 juin 2019

4. a. Soit u un endomorphisme de rang 2 tel que u ³ = O . Comme la dimension de E est 3, son noyau est de dimension 1. D'après l'inégalité de la question précédente

dim(ker u ² ) ≤ 2 dim(ker u) = 2

3 = dim(ker u ³ ) ≤ dim(ker u ² ) + dim(ker u) ≤ dim(ker u ² ) + 1

On en déduit les ideux inégalités prouvant dim(ker u ² ) = 2 .

b. Comme dim(ker u ² ) = 2 , l'endomorphisme u ² n'est pas identiquement nul. Il existe donc un vecteur a tel que u ² (a) 6= 0

E

. À fortiori u(a) et a sont non nuls.

Pour montrer que la famille (u ² (a), u(a), a) est une base, il sut de prouver qu'elle est libre.

On considère une combinaison nulle et on compose par u ² . On en déduit la nullité du coecient de a . En composant ensuite par u on obtient la nullité du coecient de u(a) . Il ne reste plus qu'un coecient qui est forcément nul.

c. Pour v = u ² − u , on désigne par U la matrice de u et par V celle de v dans la base (u ² (a), u(a), a) . On obtient :

U =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



 , U ² =





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 , V =





0 −1 1

0 0 −1

0 0 0





Partie B

1. Deux matrices semblables ont le même déterminant donc det A = det T = 1 car T est triangulaire avec des 1 sur la diagonale. Les deux matrices sont donc inversibles.

2. Le calcul montre que N ³ est la matrice nulle. On en déduit que (I ₃ + N )(I ₃ − N + N ² ) = I ₃ − N ³ = I ₃

Les deux matrices sont donc inversibles et inverses l'une de l'autre. On en déduit (P

⁻¹

AP )

⁻¹

= I 3 − N + N ²

avec

(P

⁻¹

AP)

⁻¹

= P

⁻¹

A

⁻¹

P

3. Dans cette question N = 0 , donc A est semblable à I . Comme I commute avec P , A est égal à I . Les matrices A et A

⁻¹

sont donc plus que semblables, elles sont égales et égales à I .

4. a. On a ici rg(A) = 2 et M = N ² − N . Comme N ³ = 0 , on peut appliquer la question 4. de la partie A. Il existe une "bonne base" dans laquelle la matrice de l'endomorphisme représenté par N est





0 1 0 0 0 1 0 0 0





donc M est semblable à

−





0 1 0 0 0 1 0 0 0



 +





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 =





0 −1 1

0 0 −1

0 0 0





b. Par le calcul, M ³ = 0 , le rang de M est clairement 2.

c. Pourquoi les matrices





0 1 0 0 0 1 0 0 0



 ,





0 −1 1

0 0 −1

0 0 0





sont-elles semblables ?

Car on peut appliquer à l'endomorphisme représenté par M et par la deuxième matrice la question 4.b. de la partie A. (il est de rang 2 et sa puissance d'ordre 3 est nulle, il existe alors une "bonne base")

d. Si M et N sont semblables, alors I + M et I + N sont aussi semblables. Or A ∼ I + N et

A

⁻¹

∼ (I + N)

⁻¹

= I − N + N ² = I + M ∼ A

5. On a ici rg(A) = 1 et M = N ² − N . Notons n l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est N . Comme il est de rang 1 avec n ³ = 0 (immédiat à vérier) son noyau est de dimension 2 avec



 

 

Im n ⊂ ker n ou

Im n et ker n supplémentaires

La deuxième proposition est incompatible avec le caractère nilpotent. Il existerait en eet un vecteur a non nul tel que n(a) = λa (l'image est une droite stable) avec λ non nul (l'intersection noyau -image est réduite au vecteur nul). Mais alors

n ³ (a) = λ ³ a 6= 0

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

3

Rémy Nicolai Aalglin12

MPSI B 29 juin 2019

On doit donc avoir

Im n ⊂ ker n

Considérons alors une base (a, b, c) avec (c) base de Im n et (a, b) base de ker n . La matrice de n dans une telle base est





0 0 1 0 0 0 0 0 0





On en déduit N ² = 0 , M ² = −N . De plus on a alors : (I + N)

⁻¹

= I − N Donc

A ∼ I + N A

⁻¹

∼ I − N Pourquoi les deux matrices I + N et I − N sont-elles semblables ?

Car, si N est la matrice de n dans (a, b, c) , alors −N est la matrice de n dans (−a, b, c) . Ceci prouve encore que

A ∼ A

⁻¹

.

6. a. On forme la matrice de u − Id

_E

dans la base (a, b, c) de l'énoncé.

A =





0 0 0

0 −1 −1

0 1 1





Son rang est 1 donc dim(ker(u − Id

E

)) = 2 . On lit facilement sur la matrice que

(e 1 , e 2 ) = (a, b − c)

est une base de ker(u − Id

E

) et que (b − c) est une base de Im(u − Id

E

) . b. La famille (a, b − c, c) est une base car elle contient trois vecteurs et engendre E .

En eet les vecteurs de (a, b, c) s'expriment en fonction de (a, b − c, c) . a = a, b = (b − c) + c, c = c

De plus u(c) = −b + 2c = −(b − c) + c . La matrice de u dans (a, b − c, c) est donc





1 0 0

0 1 −1

0 0 1





c. Les matrices A et A

⁻¹

sont semblables car on se trouve dans le cas de la question 5 avec A semblable à une matrice I + N avec N de rang 1.

d. Toute matrice semblable à son inverse est-elle de la forme T ? La réponse est non. Exemple :

A =





1 0 0 0 2 0 0 0 ¹ ₂



 = Mat

(a,b,c) u

A

⁻¹

=





1 0 0 0 ¹ ₂ 0 0 0 2



 = Mat

(a,b,c)

u

⁻¹

= Mat

(a,c,b)

u

La matrice A est bien semblable à son inverse.

Pourquoi n'est-elle pas semblable à une matrice de la forme T ? Car deux matrices semblables ont la même trace alors que

tr A = 1 + 2 + 1

2 6= tr T = 3

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

4

Rémy Nicolai Aalglin12