où m est un réel non nul.

Dans ce problème, on se propose d’étudier la famille de fonctions définie par :

:

^x

m x

f x e

e − m x

où m est un réel non nul.

On note C

_m

la courbe représentative de la fonction f

_m

dans un repère orthogonal.

1

^ère

partie

Etude d’une première famille de fonctions

Etude de la famille de fonctions définie par :

:

^x

g

m

x e − m x où m est un réel non nul.

On note C

_m

la courbe représentative de la fonction g

_m

dans un repère orthogonal.

1. Donner le domaine de définition D

_m

de la fonction g

_m

. 2. Déterminer les limites de la fonction g

_m

aux bornes de son

domaine de définition.

On précisera la position de C

_m

par rapport à son(ses) asymptote(s).

3. Etudier les variations de la fonction g

_m

.

4. Dresser le tableau de variation de la fonction g

_m

. 5. Donner le signe de g

m

( ) x .

6. Donner, pour différentes valeurs de m représentatives des diverses

situations rencontrées, les allures des courbes C

_m

correspondantes.

2

^ème

partie

Etude des fonctions f

_m

1. Donner le domaine de définition D

_m

de la fonction f

_m

. 2. Déterminer les limites de la fonction f

_m

aux bornes de son

domaine de définition.

On précisera la position de C

_m

par rapport à son(ses) asymptote(s) (on montrera, en particulier, que toutes les courbes C

_m

admettent une même asymptote dont on précisera une équation).

3. Etudier les variations de la fonction f

_m

.

On montrera, en particulier, que pour tout réel m non nul différent de e, la fonction f

_m

admet un extremum et que tous les points correspondants appartiennent à une même droite dont on précisera l’équation. Tout point de cette droite est-il un extremum d’une certaine courbe C

_m

?

4. Dresser le tableau de variation de la fonction f

_m

.

5. Montrer que toutes les courbes C

m

passent par un même point dont on précisera les coordonnées.

6. Donner, pour différentes valeurs de m représentatives des diverses situations rencontrées, les allures des courbes C

_m

correspondantes.

Analyse

On commencera par donner le domaine de définition de la fonction f. Cette recherche conduit à l’utilisation du théorème de bijection et permet d’identifier une valeur interdite. L’étude aux bornes du domaine de définition permet d’identifier trois asymptotes …

Résolution

1

^ère

partie

Etude d’une première famille de fonctions

Question 1.

La fonction exponentielle est définie sur et la fonction x −mx est également définie sur en tant que fonction linéaire. On en déduit ainsi que la fonction g_m est définie sur

comme somme de deux fonctions définies sur cet ensemble.

m=

D

Question 2.

On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = . Puis :

• Si m<0, ^lim

( )

x mx

→−∞ − = −∞ et (somme) : ^lim m

( )

x g x

→−∞ = −∞.

• Si m>0, ^lim

( )

x mx

→−∞ − = +∞ et (somme) : ^lim m

( )

x g x

→−∞ = +∞.

Dans les deux cas, on a : x^lim gm

( ) (

x mx

)

x^lim e^{x 0}

→−∞⎡⎣ − − ⎤⎦= →−∞ = .

On en déduit immédiatement que la courbe représentative

C

_m de la fonction g_m admet en −∞

une asymptote oblique d’équation y= −mx.

Comme, pour tout x réel, on a : gm

( ) (

x − −mx

)

=e^x >⁰, on en conclut que la courbe est située au-dessus de son asymptote.

Pour tout x réel, on a : m

( )

^{x x 1} x

g x e mx e m x

e

⎛ ⎞

= − = ⎜⎝ − ⎟⎠. Comme lim _x 0

x

x

→+∞e = (croissance comparée), il vient lim 1 _x 1

x

m x

→+∞ e

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Comme lim ^x

x e

→+∞ = +∞, on en déduit (produit) : x^{lim x 1} x x^lim m

( )

e m x g x

→+∞ e →+∞

⎡ ⎛⎜ − ⎞⎟⎤= = +∞

⎢ ⎝ ⎠⎥

⎣ ⎦ .

Si m<0, ^lim m

( )

x g x

→−∞ = −∞ et si m>0 ^lim m

( )

x g x

→−∞ = +∞.

La courbe représentative

C

_m de la fonction g_m admet en −∞ une asymptote oblique d’équation y= −mx et est située au-dessus.

( )

lim _m

x g x

→+∞ = +∞

Question 3.

La fonction exponentielle est dérivable sur . La fonction x −mx est dérivable sur en tant que fonction linéaire. La fonction g_m est donc dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout x réel, on a :

( )

' ^x

gm x = −e m

Si m<0, on a, la fonction exponentielle prenant des valeurs strictement positives sur :

( )

, _m' ^x 0

x g x e m m

∀ ∈ = − > − >

Dans ce cas, la fonction g_m est strictement croissante sur . Si m>0, on a, pour tout x réel : gm^'

( )

x =e^x− =m e^x−e^lnm. On en déduit immédiatement :

• gm^'

( )

x = ⇔ =⁰ x ^lnm.

• gm^'

( )

x > ⇔ >⁰ x ^lnm.

• gm^'

( )

x < ⇔ <⁰ x ^lnm.

Dans ce cas, la fonction g_m est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

^et

strictement croissante sur l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

. Elle admet donc un minimum en lnm et on a : gm

(

^lnm

)

=e^lnm−m^lnm= −m m^lnm=m

(

^{1 ln}− m

)

.

Si m<0, la fonction g_m est strictement croissante sur .

Si m>0, la fonction g_m est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

et strictement croissante sur l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

^.

Question 4.

Les éléments précédents nous permette de dresser le tableau de variation de la fonction g_m. On doit distinguer deux cas selon que m est strictement négatif ou strictement positif.

Si m<0

Si m>0

Question 5.

Au regard des variations de la fonction g_m obtenues précédemment, nous allons, ici encore, distinguer deux situations principales.

Si m<0

La fonction g_m est continue sur puisqu’elle y est dérivable.

Elle y est strictement croissante.

On a : ^lim m

( )

x g x

→−∞ = −∞ et ^lim m

( )

x g x

→+∞ = +∞.

x

+

x

+

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors d’affirmer que la fonction g_m prend une fois et une seule toutes les valeurs de l’intervalle x^lim gm

( )

x ^{; lim}x gm

( )

x

]

^;

[

→−∞ →+∞

⎤ ⎡ = −∞ + ∞

⎦ ⎣

(en d’autres termes, cette fonction définit une bijection de dans ).

On en déduit que l’équation gm

( )

x =⁰ admet une unique solution α.

Comme la fonction g_m est strictement croissante sur , il vient immédiatement :

• Si x<α alors gm

( )

x <gm

( )

α =⁰.

• gm

( )

α =⁰.

• Si x>α alors gm

( )

x >gm

( )

α =⁰.

Remarque : comme m<0, on a : m

( )

^{0 0 0}

g e m e

m

α α

α = ⇔ − α = ⇔ =α ⇒ <α . Le réel α est strictement négatif.

Si m>0

On a vu que dans ce cas la fonction g_m admettait un minimum en x=lnm et que la valeur de ce minimum était : gm

(

^lnm

)

=m

(

^{1 ln}− m

)

. On va donc de voir discuter à nouveau selon le signe de ^m

(

^{1 ln− m}

)

qui est celui de 1 ln− m puisque m est strictement positif.

On a 1 ln− m= ⇔0 lnm= ⇔ =1 m e et 1 ln− m> ⇔0 lnm< ⇔ <1 m e. D’où la discussion :

• Si ^m∈

] [

^{0 ;e , on a 1 ln− m>0} et la fonction g_m prend des valeurs strictement positives.

• Si m=e, la valeur minimale prise par la fonction g_m (en lnm=lne=1) est égale à 0.

Ainsi, on a : ge

( )

¹ =⁰ et pour tout réel x de

]

^−∞;e

[ ]

^{∪ e;+ ∞}

[

^{, on a :} gm

( )

x >⁰.

• Si m>e, on a 1 ln− m<0.

Sur l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

, la fonction g_m est continue et strictement décroissante. En outre, on a : ^lim m

( )

x g x

→−∞ = +∞ et gm

(

^lnm

)

=m

(

^{1 ln}− m

)

<⁰.

Ainsi, la fonction g_m prend une fois et une seule toutes les valeurs de l’intervalle

(

^{1 ln}

)

^;

m − m + ∞

⎡ ⎡

⎣ ⎣. En particulier, il existe une unique valeur α₁ dans l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

, solution de l’équation gm

( )

x =⁰.

La décroissance stricte de g_m permet alors de conclure : o Si x∈ −∞

]

;α1

[

, gm

( )

x >⁰.

o g_m

( )

α1 =0.

o Si x∈

]

α1; lnm

]

, gm

( )

x <⁰.

Sur l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

, la fonction g_m est continue et strictement croissante. En outre, on a : x^lim gm

( )

x

→+∞ = +∞ et gm

(

^lnm

)

=m

(

^{1 ln}− m

)

<⁰.

Ainsi, la fonction g_m prend une fois et une seule toutes les valeurs de l’intervalle

(

^{1 ln}

)

^;

m − m + ∞

⎡ ⎡

⎣ ⎣. En particulier, il existe une unique valeur α₂ dans l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

, solution de l’équation gm

( )

x =⁰. La croissance stricte de g_m permet alors de conclure :

o Si x∈

[

lnm;α2

[

, gm

( )

x <⁰. o g_m

( )

α2 =0.

o Si x∈

]

α2;+ ∞

[

, gm

( )

x >⁰. En définitive :

o Si x∈ −∞

]

;α1

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

, gm

( )

x >⁰. o Si x∈

{

α α1, 2

}

, gm

( )

x =⁰.

o x∈

]

α α1; 2

[

, gm

( )

x <⁰.

Remarque : comme gm

( )

⁰ =¹et gm

( )

¹ = − <e m ⁰, on peut affirmer que le réel α₁ appartient à l’intervalle

] [

^{0 ; 1} . Par ailleurs, on peut facilement montrer qu’on a (dans la situation qui nous intéresse ici : m>e) : gm

(

^{2 ln}m

)

>⁰. On en déduit ainsi que la réel α₂ appartient à l’intervalle

]

^{lnm; 2 lnm}

[

^.

Finalement :

• Si m<0, il existe un réel α strictement négatif tel que : o Si x<α alors gm

( )

x <⁰.

o gm

( )

α =⁰.

o Si x>α alors gm

( )

x >⁰.

• Si ^m∈

] [

^{0 ;e , on a :} ∀ ∈x ^,gm

( )

x >⁰.

• Si m=e, on a : ge

( )

¹ =⁰ et pour tout réel x de

]

^−∞;e

[ ]

^{∪ e;+ ∞}

[

^{, on a :}

( )

⁰

gm x > .

• Si m>e, il existe un réel α₁ dans l’intervalle

] [

^{0 ; 1} et un réel α₂ dans l’intervalle

]

^{lnm; 2 lnm}

[

tels que :

o Si x∈ −∞

]

;α1

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

, gm

( )

x >⁰. o Si x∈

{

α α1, 2

}

, gm

( )

x =⁰.

o x∈

]

α α1; 2

[

, gm

( )

x <⁰.

Question 6.

La discussion menée précédemment nous conduit à envisager un certain nombre de valeurs pour le réel m. Nous avons retenu ici les valeurs suivantes : 2− , 1− , 1, e, 2 et 4.

2

^ème

partie

Etude des fonctions f

_m

Question 1.

Pour m réel non nul, la fonction f_m est définie par :

( ) ( )

x x

m x

m

e e

f x

e mx g x

= =

−

La fonction exponentielle et la fonction g_m étant définies sur , on en déduit immédiatement que fm

( )

x existe si, et seulement si gm

( )

x est non nul.

En utilisant le résultat de la question 5 de la 1^ère partie, on peut directement conclure :

• Si m<0, il existe un unique réel α, strictement négatif, tel que gm

( )

α =⁰ et on a : ^Dm = −

{ }

α .

• Si ^m∈

] [

^{0 ;e , on a :} ∀ ∈x ^,gm

( )

x >⁰ et D_m = .

• Si m=e, on a : ge

( )

x =⁰ si, et seulement si, x=1 et ^Dm = −

{ }

¹ .

• Si m>e, on a : gm

( )

x =⁰ si, et seulement si, x=α₁ ou x=α₂ et

{

1 2

}

D_m= − α α; .

Question 2.

Si m<0

Il existe un réel α, strictement négatif, tel que gm

( )

α =⁰ et on a : ^Dm= −

{ }

α .

On doit donc étudier les limites de la fonction f_m en −∞, en α à gauche, en α à droite et en +∞.

On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et x^lim gm

( )

x

→−∞ = −∞. On en déduit (rapport) : x^lim fm

( )

x ⁰

→−∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Pour tout réel x, on a e^x >0. Le signe de

( )

⁰

( ) ( )

x

m m

m

f x f x e

g x

− = = est donc celui de

( )

gm x . D’après la question 5 de la première partie, il vient :

• Si x<α, on a gm

( )

x <⁰ et donc fm

( )

x − <^{0 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si x>α, on a gm

( )

x >⁰ et donc fm

( )

x − >^{0 0} : la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

On a : lim ^x 0

x e e^α

α

→ = > . Comme gm

( )

x <⁰ pour tout x réel strictement inférieur à α, il vient :

( )

lim _m 0

x x

g x

αα

−

→<

= . On en déduit (rapport) : ^lim m

( )

x x

f x

αα

→<

= −∞.

Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel strictement inférieur à α, il vient : ^lim m

( )

⁰

x x

g x

αα

+

→>

= . On en déduit (rapport) : ^limx m

( )

x

f x

αα

→>

= +∞.

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet une asymptote verticale d’équation x=α.

Pour tout réel x dans ^Dm = −

{ }

α , on a :

( )

¹

1

x

m x

x

f x e

e mx m x e

= =

− −

.

Comme lim _x 0

x

x

→+∞e = (croissance comparée), on a immédiatement : x^lim fm

( )

x ¹

→+∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en +∞ une asymptote horizontale d’équation y=1.

On a, par ailleurs :

( )

^{1 1}

( )

x x x

m x x

m

e e e mx mx

f x

e mx e mx g x

− = − = − + =

− − .

D’après la question 5 de la première partie, il vient alors :

• Si x<α, on a gm

( )

x <⁰ et mx>0. Donc fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si ^x∈

]

^{α; 0}

[

^{, on a} gm

( )

x >⁰ et mx>0. Donc fm

( )

x − >^{1 0} : la courbe Cm est située au-dessus de l’asymptote.

• Si x=0, fm

( )

x − =^{1 0} : la courbe Cm coupe l’asymptote.

• Si x>0, on a gm

( )

x >⁰ et mx<0. Donc fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

Bien que ce ne soit pas demandé, nous fournissons ci-dessous la courbe représentative des fonctions f₋₁ (pour laquelle α −0, 567 14) et f₋₂ (pour laquelle α −0, 351 73).

Si ^m∈

] [

^{0 ;e}

Le domaine de définition de la fonction f_m est .

On doit donc étudier les limites de la fonction f_m en −∞ et en +∞. Rappelons que dans ce cas, pour tout x réel, on a : gm

( )

x >⁰. On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et ^lim m

( )

x g x

→−∞ = +∞. On en déduit (rapport) : ^lim m

( )

⁰

x f x

→−∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Pour tout réel x, on a e^x >0 et gm

( )

x >⁰. La différence

( )

⁰

( ) ( )

x

m m

m

f x f x e

g x

− = = est donc

strictement positive et la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

On a encore : x^lim fm

( )

x ¹

→+∞ = et la courbe représentative Cm de la fonction f_m admet en +∞

une asymptote horizontale d’équation y=1. On a, par ailleurs : ^m

( )

¹ m

( )

f x mx

g x

− = est du signe de x puisque pour tout x réel, on a :

( )

⁰

m

m

g x > . D’où :

• Si x<0, on a fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si x=0, fm

( )

x − =^{1 0} : la courbe Cm coupe l’asymptote.

• Si x>0, on a fm

( )

x − >^{1 0} : la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

Si m=e

On a : ^De = −

{ }

¹ .

On doit donc étudier les limites de la fonction f_e en −∞, en 1 à gauche, en 1 à droite et en +∞.

Rappelons que dans ce cas, pour tout x réel différent de 1, on a : ge

( )

x >⁰. On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et ^lim e

( )

x g x

→−∞ = +∞. On en déduit (rapport) : ^lim e

( )

⁰

x f x

→−∞ = .

La courbe représentative Ce de la fonction f_e admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Pour tout réel x, on a e^x >0 et ge

( )

x >⁰. La différence

( )

⁰

( ) ( )

x

e e

e

f x f x e

g x

− = = est donc

strictement positive et la courbe Ce est située au-dessus l’asymptote.

On a : ¹

lim1 ^x 0

x e e

→ = > . Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel différent de 1, il vient :

1

( )

1

lim _e 0

x x

g x ⁺

→<

= . On en déduit (rapport) :

( )

1 1

lim _e

x x

f x

→<

= +∞.

On raisonne de façon similaire à droite de 1 pour obtenir le même résultat :

( )

1 1

lim _e

x x

f x

→>

= +∞. La courbe représentative Ce de la fonction f_e admet une asymptote verticale d’équation x=1 .

On a encore : x^lim fe

( )

x ¹

→+∞ = et la courbe représentative Ce de la fonction f_e admet en +∞

une asymptote horizontale d’équation y=1. On a, par ailleurs : ^e

( )

¹ e

( )

f x ex

g x

− = est du signe de x puisque pour tout x réel, on a :

( )

⁰

e

e

g x > . D’où, comme précédemment :

• Si x<0, la courbe Ce est située sous l’asymptote.

• Si x=0, la courbe Ce coupe l’asymptote.

• Si x>0, la courbe Ce est située au-dessus l’asymptote.

A la page suivante, nous avons fourni la courbe représentative de la fonction f_e.

Si m>e

On a D_m = −

{

α α1; 2

}

.

On doit donc étudier les limites de la fonction f_m en −∞, en α₁ à gauche, en α₁ à droite, en α2 à gauche, en α₂ à droite et en +∞.

On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et ^lim m

( )

x g x

→−∞ = +∞. On en déduit (rapport) : ^lim m

( )

⁰

x f x

→−∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Comme la fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives, la différence

( )

⁰

( ) ( )

x

m m

m

f x f x e

g x

− = = est du signe de gm

( )

x :

• Si x∈ −∞

]

;α1

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

, on a gm

( )

x >⁰ et la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

• Si x∈

]

α α1; 2

[

, on a gm

( )

x <⁰ et la courbe Cm est située en dessous de l’asymptote.

On a : ¹

1

lim ^x 0

x e e^α

α

→ = > . Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel strictement inférieur à α₁, il vient :

( )

1

lim _m 0

x g x

αα

+

→<

= . On en déduit (rapport) :

( )

1

lim _m

x f x

αα

→<

= +∞.

Comme gm

( )

x <⁰ pour tout x réel dans

]

α α1; 2

[

, il vient :

( )

1 1

lim _m 0

x x

g x

αα

−

→>

= . On en déduit (rapport) :

( )

1 1

lim _m

x x

f x

αα

→>

= −∞.

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet une asymptote verticale d’équation x=α1.

Comme gm

( )

x <⁰ pour tout x réel dans

]

α α1; 2

[

, il vient :

( )

2 2

lim _m 0

x x

g x

αα

−

→<

= . On en déduit (rapport) :

( )

2 2

lim _m

x x

f x

αα

→<

= −∞.

Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel strictement supérieur à α₂, il vient :

( )

2 2

lim _m 0

x x

g x

αα

+

→>

= . On en déduit (rapport) :

( )

2 2

lim _m

x x

f x

αα

→>

= +∞.

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet une asymptote verticale d’équation x=α2.

On a encore : ^lim m

( )

¹

x f x

→+∞ = et la courbe représentative Cm de la fonction f_m admet en +∞

une asymptote horizontale d’équation y=1. On a, par ailleurs : ^m

( )

¹ m

( )

f x mx

g x

− = est du signe de x puisque pour tout x réel, on a :

( )

⁰

m

m

g x > . D’où :

• Si x<0, on a fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si x=0, fm

( )

x − =^{1 0} : la courbe Cm coupe l’asymptote.

• Si x∈ ^*₊−

{

α α1, 2

}

, on a fm

( )

x − >^{1 0} : la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f3 (pour laquelle α₁ 0, 619 06 et α₂ 1,512 13) et f₄ (pour laquelle α₁ 0, 357 40 et

2 2,153 29

α ).

On constate, en définitive, que toutes les courbes Cm admettent pour asymptote la droite d’équation y=1.

Question 3.

Soit m réel non nul. La fonction f_m est le rapport de deux fonctions dérivables sur : la fonction exponentielle et la fonction g_m. Pour tout réel x tel que gm

( )

x ≠⁰, c'est-à-dire pour tout réel x de Dm, on a alors :

( ) ( ) ( )

( ( ) )

( ) ( )

( ( ) )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

' '

'

1

x x

m m

m

m

m m

x

m

x x

x x

x x

e g x e g x

f x

g x

g x g x

e

g x

e mx e m

e

e mx

m x

e

e mx

× − ×

=

= −

− − −

= −

= −

−

On a donc

( ) ( )

( )

²

D , ' 1

x

m m x

e x

x f x m

e mx

∀ ∈ = −

− . Pour tout réel x de Dm, on a :

( )

^{2 0}

x x

e e mx

− > . Le signe de fm^'

( )

x est donc celui du produit

(

¹

)

m −x . Si m<0

On a ^Dm = −

{ }

α avec α<0. On a immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

^−∞;α

[ ] [

^{∪ α; 1 on a 1− >x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x < .

• Pour x=1, fm^'

( )

x =⁰.

• Pour tout réel x de

]

^{1;+ ∞}

[

^{on a 1− <x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x > . Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement décroissante sur les intervalles

]

^−∞;α

[

^et

] ]

^{α; 1 .}

• La fonction f_m est strictement croissante sur l’intervalle

[

^{1;+ ∞}

[

^.

La fonction f_m admet donc un minimum pour x=1 et

( )

¹ ₁ ¹

m 1

e e

f =e m =e m

− × − . Si ^m∈

] [

^{0 ;e}

On a D_m = .

Il vient immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

^{−∞; 1}

[

^{on a 1− >x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x > .

• Pour x=1, fm^'

( )

x =⁰.

• Pour tout réel x de

]

^{1;+ ∞}

[

^{on a 1− <x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x < . Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement croissante sur l’intervalle

]

^{−∞; 1}

]

^.

• La fonction f_m est strictement décroissante sur l’intervalle

[

^{1;+ ∞}

[

^.

La fonction admet donc un maximum pour x=1 et m

( )

¹

f e

=e m

− . Si m=e

On a ^De = −

{ }

¹ . On a immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

^{−∞; 1}

[

^{on a 1− >x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x > .

• Pour tout réel x de

]

^{1;+ ∞}

[

^{on a 1− <x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x < . Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement croissante sur l’intervalle

]

^{−∞; 1}

[

^.

• La fonction f_m est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{1;+ ∞}

[

^.

Si m>e

On a D_m = −

{

α α1; 2

}

avec α1∈

] [

0 ; 1 et α2∈

]

lnm; 2 lnm

[

. On a immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

−∞;α1

[ ]

∪ α1; 1

[

on a 1− >x 0 et donc ^m

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors : fm^'

( )

x >⁰.

• Pour x=1, fm^'

( )

x =⁰.

• Pour tout réel x de

]

1;α2

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

on a 1− <x 0 et donc ^m

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors : fm^'

( )

x <⁰.

Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement croissante sur les intervalles

]

−∞;α1

[

et

]

α1; 1

]

.

• La fonction f_m est strictement décroissante sur les intervalles

[

1 ;α2

[

et

]

α2;+ ∞

[

. La fonction admet donc un maximum pour x=1 et m

( )

¹

f e

=e m

− .

Ainsi, pour tout réel m non nul différent de e, la fonction f_m admet un extremum :

• Si m<0, la fonction f_m admet un minimum pour x=1 et on a m

( )

¹

f e

=e m

− .

• Si ^m∈

] [ ]

^{0 ;e ∪ e;+ ∞}

[

, la fonction f_m admet un maximum pour x=1 et on a

( )

¹

m

f e

= e m

− .

Tous les extrema sont donc situés sur la droite d’équation x=1.

Soit maintenant ^{M 1 ;}

(

^y

)

. Existe-t-il une valeur de m telle que M soit un extremum de la courbe Cm ?

Il faudrait avoir : m

( )

¹

y f e

= = e m

− . Soit :

(

^y−1

)

^e=my.

On élimine la valeur y=1 car elle conduirait à m=0. Ensuite, pour y≠0, il vient :

(

¹

)

1

y e 1

m e

y y

− ⎛ ⎞

= = ⎜ − ⎟

⎝ ⎠. On en conclut :

Tout point de la droite d’équation x=1 hormis les points

( )

^{1; 0 et}

( )

^{1; 1}

est un extremum d’une courbe Cm.

Question 4.

Si m<0

x 1

Si ^m∈

] [

^{0 ;e}

Si m=e

Si m>e

x

1 1

0

x

1 1

0

x

1 1

0

0

Question 5.

On cherche un point ^M

(

^{a b;}

)

tel que pour tout m non nul M appartienne à Cm. On a alors :

( )

( )

( )

( )

*, M ; C

*, *,

0

*, *

* 0

* 0 0

1 0

1 0

0 1

m

a

m a

a a

a a a

a a

a

m a b

m b f a m b e

e ma e ma

m b e m

e ma b e ma e

m e ma

e ma

m ab

mab b e

b a

b

∀ ∈ ∈

⇔ ∀ ∈ = ⇔ ∀ ∈ =

−

⎧ − ≠

⇔ ∀ ∈ = − ⇔ ∀ ∈ ⎪⎨⎪⎩ − =

⎧∀ ∈ − ≠

⎧ − ≠ ⎪

⇔ ∀ ∈ ⎪⎨ ⇔⎨ =

+ − =

⎪ ⎪

⎩ ⎩ − =

⎧ =

⇔ ⎨⎩ =

Toutes les courbes Cm passent par le point ^{A 0 ; 1}

( )

^.

Question 6.

Nous avons représenté ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f_m pour les six valeurs de m suivantes : 2− , 1− , 1, 2, e et 5.