2nd10 DS 4 Correction : Variations de fonction et statistique 11 d´ecembre 2018
Exercice 1 : Echau↵ement (5 minutes) (2 points)
1. Simplifier le quotient suivant : 3 5 2p
3. 2. R´esoudre : x2+ 2x= 0
Solution:
1. 3
5 2p
3 = 3(5 + 2p 3) 25 12
15 + 6p 3 13
2. x2+ 2x= 0 ssix(x+ 2) = 0. Les solutions sont 0 et 2.
Exercice 2 : Tableau de variations (10 minutes) (3 points)
Soitf la fonction d´efinie par sa courbe repr´esentative ci-dessous :
1. Dresser le tableau de variations def.
2. Quel est le maximum de f? En quelle(s) va- leur(s) est-il atteint ?
Chapitre 1 • Généralités sur les fonctions • 35
a. x 4 -2 3 1
f x^ h -5 2 -
2 5
b. x -5 -2 3 5
f x^ h4 2 -
2 1
c. x 4 -2 2 5
f x^ h -5 2 -
3 1
d. x -5 -2 2 5
f x^ h4 2 -
3 1
59 QCM
Soit le tableau de variation d’une fonction f :
x -4 -1 3 5
f x^ h 2 3 -2 1
Quelle est la seule représentation graphique possible pour la fonction f ?
0 1
1 x
y
0 1
1 x
y
0 1
1 x
y
0 1
1 x
y
60 QCM
Soit f une fonction défi nie sur 6-5 4; @ qui admet le tableau de variation ci-dessous :
x -5 -2 1 4
f x^ h 3 4 -5 -2
Donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) :
a. f^ h1 =-5 b. f^-5h1f^1h c. f^-2h2f^0h d. f^ h0 = 5 e. f^-4h2f^2h
À partir de courbes représentatives
61
Voir la fi che Savoir faire, page 21.Soit f la fonction défi nie par sa courbe représentative ci-dessous :
1 0
1 x
y
1. Dresser le tableau de variation de f.
2. Quel est le maximum de f ? En quelle(s) valeur(s) est-il atteint ?
3. Peut-on affi rmer que pour tout x de 6-5 5; @, f x^ h H-1 ? Justifi er.
62
Voir la fi che Savoir faire, page 21.Reprendre l’exercice précédent avec la courbe représentative ci-dessous :
1 0
1 x
y
63
On donne les courbes représentatives !1, !2, !3, !4 et quatre tableaux de variation.0 1
1 x
!1 y
0 1
1 x
!2 y
0 1
1 x
!3 y
0 1
1 x
y
!4
a. b.
x -4 -2 1 4 f x1^ h 4 3 1 -
x -4 -2 3 4 f x2^ h 4 1 1 -
c. d.
x -4 -1 2 4 f x3^ h4 -3 3 -1
x -4 -3 3 4 f x4^ h4 -1 2 -1 Associer à chaque courbe représentative le tableau de varia- tion qui correspond à la fonction représentée.
Pour info
Lorsqu’une valeur est interdite pour une fonction, on place sous elle une double barre verticale dans le tableau de variation de la fonction.
a b
c d
Utilisation réservée à l’examen du CAPES externe de mathématiques – Avril 2014 Solution:
1.
x
f
5 2 3 5
1 1
4 4
1 1
2 2
2. Le maximum def est 4. Il est atteint en 2.
Exercice 3 : Statistiques (15 minutes) (6 points)
Un jardinier a deux lots de bulbes de tulipes A et B de provenance di↵´erentes. Il les a pes´e tous un `a un.
1. Ci-dessous est trac´e le diagramme en boˆıte qui r´esume les r´esultats des masses en grammes du lot A.
(a) `A partir de celui-ci, donner les valeurs des 1eret 3equartiles, de la m´ediane et des extremums.
(b) Estimer le pourcentage de bulbes dont la masse est sup´erieure ou ´egale `a 40 g.
(c) Donner l’intervalle interquartile et donner une interpr´etation de ce r´esultat.
2. Pour le lot B, voici le tableau des e↵ectifs :
masse 20 25 30 35 40 45 50 55 60
nombre de
bulbes 10 14 22 25 18 12 8 6 5
(a) D´eterminer la masse moyenne au gramme pr`es des bulbes du lot B.
(b) D´eterminer la m´ediane, les premier et troisi`eme quartiles.
(c) Sur le graphique ci-dessous disposer le diagramme en boˆıte du lot B.
(d) Lequel des deux lots semble le mieux calibr´e ? Justifier votre r´eponse.
(e) Quel est le pourcentage de bulbes dont la masse est strictement comprise entre 25 et 55 g ? (r´esultat arrondi au pourcentage pr`es).
2nd10 DS 4 Page 2 sur 4
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Lot A Lot B
Solution:
1. (a) Le 1er quartile est 40, le 3`eme est 70. La m´ediane est 55 et les extremums sont 10 et 100.
(b) Environ 75% ont une masse sup´erieure `a 40g.
(c) L’intervalle interquartile est de 30g. La moiti´e des bulbes a la mˆeme masse `a 30 grammes pr`es.
2. (a) La moyenne est donn´ee par la formule :
20⇥10 + 25⇥14 + 30⇥22 + 35⇥25 + 40⇥18 + 45⇥12 + 50⇥8 + 55⇥6 + 60⇥5
120 ⇡36
La moyenne est d’environ 36 grammes.
(b) La m´ediane est 35, Q1 est 30 et Q3 est 45.
(c) Voir graphique
(d) Le mieux calibr´e semble ˆetre le lot B. Les poids sont plus homog`ene.
(e) Il y a 10 + 5 = 15 bulbes non comprise entre 25 et 55g. Il y a donc 12015 = 0,125 donc il y a environ 87,5% des tulipes qui ont une masse comprise entre 25 et 55 g.
Exercice 4 : Tracer une courbe repr´esentative (10 minutes) (3 points) Soit f une fonction v´erifiant :
• f est d´efinie sur [ 10; 10] ;
• f est croissante sur [ 2; 1] et sur [5; 10] ;f est d´ecroissante sur [ 10; 2] et sur [1; 5] ;
• Les ant´ec´edents par f de 0 sont 2 ; 2 et 10 ;
• Le minimum de f est 2 ; le maximum def est 5 ;
• f(1) = 4 ;
• La coube coupe l’axe des ordonn´ees au point d’ordonn´ee 2.
1. Construire une courbe repr´esentative possible def.
2. Dresser le tableau de variations def.
3. Peut-on affirmer que f est positive sur [ 10; 2] ? Justifier
2nd10 DS 4 Page 3 sur 4 Solution:
1.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1 1 2 3 4 5
0
2.
x f
10 2 1 5 10
5 5
0 0
44
22
00
3. Le minimum def sur [ 10; 2] est 0. On peut affirmer que f est positive.
Exercice 5 : Un probl`eme (15 minutes) (6 points)
L’entreprisePirateDuNetpropose de vendre des mots de passe de comptes Facebook (ou SnapChat pour ceux qui ne connaissent pas Facebook) `a des entreprises (peu scrupuleuses).
La vente de base est de 1200 comptes au prix de 1ele compte.
Si l’entreprise souhaite acheter plus de comptes, PirateDuNet propose des lots de 60 comptes. Pour chaque lot de 60 comptes achet´es, il r´eduit le prix de 0,02e le compte.
1. Combien coˆute la vente de 1200 comptes 2. Une entreprise souhaite acheter 1320 comptes.
(a) Combien de lots suppl´ementaire sont vendus ? (b) Quel sera alors le coˆut d’un compte ?
(c) Combien coˆutera 1320 comptes ?
3. Combien coˆutera l’achat total (en comptant les 1200 comptes achet´es au d´epart) de 5 lots suppl´ementaires ? de 10 lots suppl´ementaires ?
4. On suppose qu’une entreprise souhaite acheterxlots suppl´ementaires (0< x <50).
(a) ´Ecrire en fonction dex :
• Le nombre total de comptes vendus ;
• Le prix par compte vendu
(b) Montrer que la recette totale en euro est alors :
R(x) = 1,2x2+ 36x+ 1200 5. En utilisant la calculatrice.
(a) Conjecturer la valeur de la recette maximale ;
(b) Au bout de combien de lots suppl´ementaires, la recette sera de nouveau de 1200e.
(c) Le producteur a-t-il int´erˆet `a vendre plus de 30 lots ? 6. D´emontrer les conjectures 5.a et 5.b
Solution:
1. 1200 comptes coˆute 1200 euros.
2nd10 DS 4 Page 4 sur 4 2. (a) 2 lots suppl´ementaires sont vendus.
(b) Le coˆut d’un compte sera alors 1 2⇥0,02 = 0,96 euros.
(c) 1320 comptes coˆuteront alors 1267,2 euros.
3. Pour 5 lots suppl´ementaires, on paiera (1200 + 5⇥60)⇥(1 5⇥0,02) = 1350 euros.
Pour 10 lots suppl´ementaires, on paiera (1200 + 10⇥60)⇥(1 10⇥0,02) = 1440 euros.
4. (a) Le nombre total de comptes vendus sera 1200 +x⇥60 Le prix par compte sera 1 x⇥0,02.
(b) On aura alorsR(x) = (1200 +x⇥60)⇥(1 x⇥0,02) = 1,2x2+ 36x+ 1200.
5. (a) Avec la calculatrice, on conjecture que la recette maximale sera atteint pour 15 lots et sera de 1470.
(b) La recette sera de nouveau de 1200 euros apr`es la vente de 30 lots suppl´ementaires.
(c) R est d´ecroissante sur [15; 50] et R(30) = 1200. On aura aucun int´erˆet de vendre plus de 30 lots puisque la recette sera plus faible que 1200 euros.
6. D´emontrons la 5)a).
On remarque queR(15) = 1470
On peut conjecturer queR(x) = 1,2(x 15)2+ 1470.
D´emontrons-le ! 1,2(x 15)2+1470 = 1,2(x2 30x+225)+1470 = 1,2x2+36 270+1470 = 1,2x2+ 36x+ 1200.
Pour tout r´eelx(x 15)2>0 donc 1,2(x 15)2 60 donc 1,2(x 15)2+ 147061470 Ceci d´emontrer bien que le maximum est 1470
D´emontrons la conjecture 5)b. R´esolvonsR(x) = 1200.
R(x) = 1200 ssi 1,2x2+ 36x= 0 ssi 1,2x(x 30) = 0. Les solutions sont 0 et 30. Ce qui prouve bien qu’il faut vendre 30 lots.
