A chaque couple (m, f) où f est une fonction à valeurs réelles dénie dans une partie non videX deRet mun nombre réel

MPSI B 2008-2009 Énoncé du DM 13 29 juin 2019

Ce problème porte sur la transformée de Legendre d'une fonction.

La transformation de Legendre est un procédé qui à une fonctionf dénie sur une partie X de Rassocie une fonctionf^◦ dénie sur une partieX^◦ de R. Il est à noter que f doit vérier certaines propriétés pour quef^◦ soit bien dénie c'est à dire X^◦ non vide.

Les dénitions précises sont données dans la partie Préliminaires qui ne comporte pas de questions. Cette partie introduit aussi des conventions de notation qui pourront être utilisées dans tout le problème.

Préliminaires.

A chaque couple (m, f) où f est une fonction à valeurs réelles dénie dans une partie non videX deRet mun nombre réel ; on associe une fonctionhmdansX en posant

∀x∈X, h_m(x) =mx−f(x)

On appelle X^◦ l'ensemble des m tels que hm soit majorée. Lorsque X^◦ est non vide, on dénit la fonctionf^◦ dansX^◦ en posant

∀m∈X^◦, f^◦(m) = sup

X

hm

Au couple(X, f)on associe alors le couple(X^◦, f^◦). Pour tout réelu, on notekula fonction associée à(u, f^◦)commehm l'était à(m, f)c'est à dire

∀u∈R,∀x∈X^◦ ku(x) =ux−f^◦(x)

et on notera(X^◦◦, f^◦◦)le couple((X^◦)^◦,(f^◦)^◦). De même, on noteralpla fonction associée au couple(p, f^◦◦)pour un nombrepréel et(X^◦◦◦, f^◦◦◦)le couple((X^◦◦)^◦,(f^◦◦)^◦). Partie I. Exemples. Une inégalité générale.

Pour chacun des exemples suivants, on pourra si nécessaire, s'aider des dérivées et des tableaux de variations des fonctionshmetku. On justiera soigneusement tous les résultats.

1. IciX =Retf(x) =Kx²oùKest un nombre réel non nul. Déterminer(X^◦, f^◦). Pour quelsKa-t-onf =f^◦?

2. Ici X = [a, b] et f est continue sur [a, b]. Déterminer X^◦. Montrer que pour tout m dansX^◦, il existe x0 dans[a, b]tel quef^◦(m) =mx0−f(x0).

3. IciX =Ret f(x) =e^x. Déterminer(X^◦, f^◦)puis(X^◦◦, f^◦◦).

4. Soitαet β deux réels xés, on considèreX =Ret la fonction ane f(x) =αx+β

Déterminer(X^◦, f^◦)puis(X^◦◦, f^◦◦).

5. Montrer que∀x∈X,∀m∈X^◦ f(x) +f^◦(m)≥mx. Partie II. Espaces N etN₀ de fonctions convexes.

Dans cette partie, N désigne l'ensemble des fonctions C² de R+ dans R+, telles que f(0) = 0et f⁰(x)>0, f⁰⁰(x)>0 pourx >0 .

On notera N0 la partie de N formée par les fonctions f telles que f⁰(0) = 0 et dont la dérivée diverge vers+∞en+∞.

On citera précisément les résultats de cours utilisés. On se propose d'établir, pour une fonction f ∈ N l'équivalence entre les deux propriétés f⁰ → +∞ et ^f(x)_x → +∞ au voisinage de+∞.

1. Montrer que ^f(x)_x →+∞entraînef⁰→+∞.

2. Soitx >0, en considérant f(2x)−f(x), montrer quexf⁰(x)≤f(2x). 3. Montrer quef⁰→+∞entraîne ^f(x)_x →+∞.

Partie III. Transformée de Legendre dansN0. Dans cette partief désigne une fonction dansN0.

1. Soitm∈R+, montrer quehm(dénie à partir def comme dans le préliminaire) admet un maximum qu'elle atteint en un unique réel positifxm. On noteraϕla fonction qui à toutm≥0associexm.

2. a. Montrer quef⁰ est une bijection deR+ dansR+.

b. Exprimer ϕà l'aide de f⁰, en déduire que ϕest continue strictement croissante avecϕ(0) = 0 etϕ→ ∞en+∞.

3. Montrer quef^◦ estC², préciser les dérivées première et seconde def^◦. 4. Montrer quef^◦∈ N0 et quef^◦◦=f

5. a. Soitf et gdansN0telles quef ≤g, montrer queg^◦≤f^◦ b. Résoudre l'équationf^◦=f dansN0.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0813E