MPSI B 2009-2010. DM 8 29 juin 2019
Problème 1.
Dans toute ce problème, m désigne un nombre entier, E une partie de N à m éléments et f une fonction injective dénie dans E et à valeurs réelles.
Si A est une partie de E , on désigne par f A la restriction de f à A c'est à dire la fonction dénie de A vers R et telle que
∀a ∈ A, f A (a) = f (a)
Cet exercice porte sur les restrictions monotones de f . Par convention, on décide qu'une fonction dont le domaine de dénition se réduit à un point est à la fois croissante et décroissante.
1. Exemple. Soit m = 6 et f dénie par E = {1, · · · , m}
f(1) = 3, f (2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 6, f (5) = 5, f (6) = 1
a. Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que f A soit croissante.
b. Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que f A soit décroissante.
2. a. Montrer que pour tout p dans E , il existe au moins une partie A de E telle que A ⊂ {1, · · · , p}
p ∈ A f A croissante
On désigne par i p le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.
b. Calculer les i p pour l'exemple de la question 1.
3. a. Montrer que pour tout p dans E , il existe au moins une partie A de E telle que A ⊂ {1, · · · , p}
p ∈ A
f A décroissante
On désigne par j p le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.
b. Calculer les j p pour l'exemple de la question 1.
c. Présenter les résultats des questions 2.b et 3.b. sous la forme d'un tableau dont la dernière ligne est formée par les couples (i p , j p )
4. Soit p et q dans E tels que p < q
a. Montrer que f (p) < f (q) ⇒ i p < i q
b. Montrer que f (q) < f(p) ⇒ j p < j q
5. Montrer que l'application dénie dans E qui à p associe (i p , j p ) est injective.
6. Théorème de Erdös-Szekeres.
Soit a et b entiers naturels non nuls et m = ab + 1 . Montrer que, pour toute fonction injective f dénie dans E (ensemble à m éléments) et à valeurs réelles, il existe une partie A de E contenant strictement plus de a éléments telle que f A soit croissante ou bien il existe une partie B de E contenant strictement plus de b éléments telle que f B soit décroissante.
7. Soit a ≥ 2 et b deux entiers naturels xés, m = ab et E = {0, · · · , m − 1} . Pour tout x ∈ N, notons q(x) , r(x) le quotient et le reste de la division euclidienne de x par a . On dénit la fonction f dans E par
f (x) = (q(x) + 1)a − r(x)
a. Préciser les parties A de E telles que f A soit décroissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?
b. Préciser les parties B de E telles que f B soit croissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?
c. Que peut-on en conclure relativement au théorème de la question 6. ?
Problème 2.
Soit E un ensemble ni. Si B est une partie de E , on note f B la fonction caractéristique de la partie B . C'est la fonction de E dans {0, 1} dénie par :
x 7→ f B (x) =
0 si x 6∈ B 1 si x ∈ B
Soit n ≥ 2 un entier xé et B 1 , B 2 , · · · , B n des parties de E . Pour toute partie I de {1, · · · , n} , on note
B I = \
i∈I
B 1
1. a. Soit B une partie de E , préciser la somme X
x∈E
f B (x)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M0908EMPSI B 2009-2010. DM 8 29 juin 2019
b. Préciser la fonction dénie dans E par : x 7→ 1 − f B (x)
c. Soit I une partie de {1, · · · , n} et B 1 , · · · , B n des parties de E , préciser la fonction dans E par :
x 7→ Y
i∈I
f B
i(x)
2. On considère une famille A 1 , A 2 , · · · , A n de parties de E .
a. Exprimer A 1 ∪ · · · ∪ A n comme le complémentaire d'une intersection.
b. En déduire directement (sans récurrence) la formule du crible de Poincaré.
](A 1 ∪ · · · ∪ A n ) =
n
X
p=1
(−1) p−1 X
I∈P
p] \
i∈I
A i
où ]B désigne le nombre d'éléments de B et P p l'ensemble des parties à p éléments de {1, · · · , n} (on pourra développer un produit).
3. Applications.
a. Déterminer le nombre d'applications non surjectives d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments.
b. Déterminer le nombre de permutations (bijection d'un ensemble ni dans lui même) d'un ensemble à n éléments ayant au moins un point xe.
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