((E, k.k) est un evn dans chaque exercice. Si E est un ensemble de Hilbert, on identifie E ` a son dual. Sauf pr´ ecision f est une fonction de E dans R ∪ {+∞}.

Universit´ e Paris Dauphine, M1, Ann´ ee 2016-2017 G. Vigeral

Analyse convexe

Feuille d’exercices 9 : KKT et dualit´ e de Fenchel-Rockafellar.

((E, k.k) est un evn dans chaque exercice. Si E est un ensemble de Hilbert, on identifie E ` a son dual. Sauf pr´ ecision f est une fonction de E dans R ∪ {+∞}.

1. KKT

Minimiser (x − 2) ² + 2(y − 1) ² sous les contraintes y ≤ x et x + 4y ≤ 3.

2. Soit E = R ⁿ , A une matrice carr´ ee de taille n, f et g deux fonctions convexes sur E. On suppose de plus g diff´ erentiable sur E . On s’int´ eresse au probl` eme

P = inf

x∈E f (Ax) + g(x).

et on suppose que P > −∞.

1. Montrer que P = D, o` u

D = sup

y∈E

−f ^∗ (y) − g ^∗ (−A ^T y).

2. On suppose que les deux probl` emes ont des solutions, respectivement ¯ x et ¯ y. Montrer que f (A x) + ¯ f ^∗ (¯ y) ≥ hA¯ x|¯ yi et g(¯ x) + g ^∗ (−A ^T y) ¯ ≥ − hA¯ x|¯ yi. En d´ eduire que ces in´ egalit´ es sont en fait des ´ egalit´ es.

3. Montrer que ∇g(¯ x) = −A ^T y. ¯

4. On suppose que g(x) = 1/2kx − x 0 k ² ₂ . Donner ¯ x en fonction de ¯ y.

3. On se place dans le cadre de l’exercice pr´ ec´ edent, avec g(x) = 1/2kx − x 0 k ² ₂ et f(x) = kyk ₁ . Calculer f ^∗ et g ^∗ . En d´ eduire que

D = 1

2 kx ₀ k ² ₂ − min

y∈[−1,1]

1

2 kA ^T y − x 0 k ² ₂ .

R´ esoudre explicitement les probl` emes primaux et duaux dans le cas n = 2 et A = Id (on pourra faire un dessin).

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