MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit E un ensemble ni. Si B est une partie de E , on note f B la fonction caractéristique de la partie B . C'est la fonction de E dans {0, 1} dénie par :
x 7→ f B (x) =
0 si x 6∈ B 1 si x ∈ B
Soit n ≥ 2 un entier xé et B 1 , B 2 , · · · , B n des parties de E . Pour toute partie I de {1, · · · , n} , on note
B I = \
i∈I
B 1
1. a. Soit B une partie de E , préciser la somme X
x∈E
f B (x)
b. Préciser la fonction dénie dans E par : x 7→ 1 − f B (x)
c. Soit I une partie de {1, · · · , n} et B 1 , · · · , B n des parties de E , préciser la fonction dans E par :
x 7→ Y
i∈I
f B
i(x)
2. On considère une famille A 1 , A 2 , · · · , A n de parties de E .
a. Exprimer A 1 ∪ · · · ∪ A n comme le complémentaire d'une intersection.
b. En déduire directement (sans récurrence) la formule du crible de Poincaré.
](A 1 ∪ · · · ∪ A n ) =
n
X
p=1
(−1) p−1 X
I∈P
p] \
i∈I
A i
où ]B désigne le nombre d'éléments de B et P p l'ensemble des parties à p éléments de {1, · · · , n} (on pourra développer un produit).
3. Applications.
a. Déterminer le nombre d'applications non surjectives d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments.
b. Déterminer le nombre de permutations (bijection d'un ensemble ni dans lui même) d'un ensemble à n éléments ayant au moins un point xe.
Corrigé
1. a. D'après la dénition de la fonction caractéristique, la fonction proposée compte le nombre d'éléments
X
x∈E
f B (x) = ]B
b. D'après la déition, on peut écrire (avec une opération entre fonction) 1 − f B = f B
où 1 désigne la fonction constante de valeur 1 et B le complémentaire de B . c. Cette fonction prend la valeur 1 en x si et seulement si x appartient à tous les
B i . Il s'agit donc de la fonction caractéristique de l'intersection.
Y
i∈I
f B
i= f T
i∈I
B
i2. a. Le complémentaire d'une union est l'intersection des complémentaires.
A 1 ∪ · · · ∪ A n = \
i∈{1,··· ,n}
A i
3. Pour une famille (v 1 , · · · , v n ) de nombres réels, considérons le produit P = (1 − v 1 )(1 − v 2 ) · · · (1 − v n )
Développer ce produit, c'est choisir dans chaque facteur soit le 1 soit le a i . On obtient donc une somme de 2 n termes indexée par les parties de {1, · · · , n} .
P = X
I∈P
Y
i∈I
(−v i )
où P désigne l'ensemble des parties de {1, · · · , n} . On peut regrouper les parties ayant le même nombre d'éléments.
P =
n
X
p=0
X
I ∈P
p(−1) p Y
i∈I
v i = 1 +
n
X
p=1
X
I∈P
p(−1) p Y
i∈I
v i
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Adiscret1MPSI B 29 juin 2019
où P p désigne l'ensemble des parties à p éléments de {1, · · · , n} . Notons U l'union des A i et V son complémentaire. Pour un x quelconque dans E notons v i = f A
i(x) . D'après les questions précédentes, on a alors :
1 − f U (x) = f V (x) =
n
Y
i=1
(1 − v i ) =
n
X
p=1
X
I∈P
p(−1) p Y
i∈I
v i =
n
X
p=0
X
I∈P
p(−1) p Y
i∈I
f A
i(x)
= 1 +
n
X
p=1
X
I ∈P
p(−1) p f T
i∈I
A
i(x)
En sommant pour tous les x de E , on obtient : n − ]U = n +
n
X
p=1
X
I∈P
p(−1) p ] \
i∈I
A i
Après simplication par n et multiplication par −1 , on obtient bien la formule deman- dée
](A 1 ∪ · · · ∪ A n ) =
n
X
p=1
(−1) p−1 X
I∈P
p] \
i∈I
A i
qui généralise
](A 1 ∪ A 2 ) = ]A 1 + ]A 1 − ](A 1 ∩ A 2 )
4. a. Notons E l'ensemble de départ à p éléments et F l'ensemble d'arrivée à n éléments.
Notons N l'ensemble des applications non surjectives de E dans F . Pour chaque élément y de F , introduisons
F y = {f ∈ F(E, F ), y / ∈ f(E)}
Avec ces notations, une application f est non surjective si et seulement si il existe un y dans F tel que f ∈ F y . Donc
N = [
y∈F
F y ]N =
n
X
k=1
(−1) k−1 X
J∈P
k] \
y∈J
F y
où P k désigne l'ensemble des parties à k éléments de F . Il est clair que T
y∈J F y
est en bijection avec l'ensemble des applications de E dans F \ J . Cet ensemble
de fonctions contient n − (]I) p éléments. On en déduit ]N =
n
X
k=1
(−1) k−1 X
J∈P
k(n − k) p =
n
X
k=1
(−1) k−1 n
k
(n − k) p
= (−1) n+1
n−1
X
k=0
(−1) k n
k
k p
b. Ici E est un ensemble à n éléments. Pour chaque x ∈ E , considérons l'ensemble F x
formé des bijections de E dans E telles que f (x) = x . L'ensemble des bijections ayant au moins un point xe est noté F , c'est l'union des F x . On en déduit
]F =
n
X
k=1
(−1) k−1 X
X∈P
k] \
x∈X
F x
Chaque T
x∈X F x est en bijection avec l'ensemble des permutations de E \ X . Il vient
]F =
n
X
k=1
(−1) k−1 n
k
(n − k)! = (−1) n+1
n−1
X
k=0
(−1) k n
k
k!
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
