Ce problème porte sur la transformée de Legendre d'une fonction.

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 19 corrigé en classe 29 juin 2019

Problème

Ce problème porte sur la transformée de Legendre d'une fonction.

La transformation de Legendre est un procédé qui à une fonction f dénie sur une partie X de R associe une fonction f

dénie sur une partie X

de R. Il est à noter que f doit vérier certaines propriétés pour que f

soit bien dénie c'est à dire X

non vide.

Les dénitions précises sont données dans la partie Préliminaires qui ne comporte pas de questions. Cette partie introduit aussi des conventions de notation qui pourront être utilisées dans tout le problème.

La partie III est indépendante du reste, elle prépare la partie IV.

Préliminaires.

À chaque couple (m, f ) où f est une fonction à valeurs réelles dénie dans une partie non vide X de R et m un nombre réel, on associe une fonction h

dans X en posant

∀x ∈ X, h

(x) = mx − f (x)

On appelle X

l'ensemble des m tels que h

soit majorée. Lorsque X

est non vide, on dénit la fonction f

dans X

en posant

∀m ∈ X

, f

(m) = sup

X

h

Au couple (X, f) on associe alors le couple (X

, f

) . Pour tout réel u , on note k

la fonction associée à (u, f

) comme h

l'était à (m, f ) c'est à dire

∀u ∈ R , ∀x ∈ X

k

(x) = ux − f

(x)

et on notera (X

, f

) le couple ((X

)

, (f

)

) . De même, on notera l

la fonction associée au couple (p, f

) pour un nombre p réel et (X

, f

) le couple ((X

)

, (f

)

) .

Partie I. Exemples. Une inégalité générale.

Pour chacun des exemples suivants, on pourra s'aider des dérivées et des tableaux de variations des fonctions h

et k

. On justiera soigneusement tous les résultats.

1. Ici X = R et f(x) = Kx

où K est un nombre réel non nul. Déterminer (X

, f

) . Pour quels K a-t-on f = f

?

2. Ici X = [a, b] et f est continue sur [a, b] . Déterminer X

. Montrer que pour tout m dans X

, il existe x

dans [a, b] tel que f

(m) = mx

− f (x

) .

3. Ici X = R et f (x) =

x

. Déterminer X

.

4. Ici X = R et f (x) = e

. Déterminer (X

, f

) puis (X

, f

) . 5. Soit α et β deux réels xés. On considère X = R et la fonction ane

f (x) = αx + β

Déterminer (X

, f

) puis (X

, f

) .

6. On suppose que X est l'ensemble ni {−1, 0, 1, 2} et que f est dénie par f (−1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 2, f (2) = 1

Déterminer (X

, f

) puis (X

, f

) et les représenter graphiquement.

7. Montrer que ∀x ∈ X, ∀m ∈ X

f (x) + f

(m) ≥ mx .

Partie II. Un autre exemple. Inégalité de Hölder.

Dans cette partie, p > 1 . On dénit q ∈ R et une fonction u

dans X =]0, +∞[ :

∀x > 0 : u

(x) = 1

p x

et 1 p + 1

q = 1 1. Préciser X

et u

.

2. a. Montrer que, pour tout couple (x, y) de réels strictement positifs :

xy ≤ x

p + y

q et que pour tous réel λ > 0 on a aussi :

xy ≤ λ

x

p + y

qλ

b. Soit n un entier naturel non nul et (x

, · · · , x

) , (y

, · · · , y

) deux n -uplets de réels strictement positifs. Justier pour tout réel λ > 0 , l'inégalité :

n

X

i=1

x

y

≤ λ

p

n

X

i=1

x

+ 1 qλ

n

X

i=1

y

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3. a. Soient a et b deux réels strictement positifs. Déterminer le minimum de la fonction v dénie pour tout x > 0 par :

v(x) = a x

p + b

qx

b. En déduire l'inégalité de Hölder pour tout couple de n -uplets de réels strictement positifs

n

X

i=1

x

y

≤

n

X

i=1

x

!

X

i=1

y

!

Partie III. Espaces N et N

de fonctions convexes.

Dans cette partie, N désigne l'ensemble des fonctions C

de R

dans R

, telles que f (0) = 0 et f

(x) > 0 , f

(x) > 0 pour x > 0 .

On notera N

la partie de N formée par les fonctions f telles que f

(0) = 0 et dont la dérivée diverge vers +∞ en +∞ .

On citera précisément les résultats de cours utilisés. On se propose d'établir, pour une fonction f ∈ N l'équivalence entre les deux propriétés f

→ +∞ et

→ +∞ au voisinage de +∞ .

1. Montrer que

→ +∞ entraîne f

→ +∞ .

2. Soit x > 0 , en considérant f (2x) − f (x) , montrer que xf

(x) ≤ f(2x) . 3. Montrer que f

→ +∞ entraîne

→ +∞ .

Partie IV. Transformée de Legendre dans N

.

Dans cette partie f désigne une fonction dans N

.

1. Soit m ∈ R

, montrer que h

(dénie à partir de f comme dans le préliminaire) admet un maximum qu'elle atteint en un unique réel positif x

. On notera ϕ la fonction qui à tout m ≥ 0 associe x

.

2. a. Montrer que f

est une bijection de R

dans R

.

b. Exprimer ϕ à l'aide de f

, en déduire que ϕ est continue strictement croissante avec ϕ(0) = 0 et ϕ → ∞ en +∞ .

3. Montrer que f

est C

dans ]0, +∞[ , préciser f

et f

. 4. Montrer que f

∈ N

et que f

= f

Partie V. Un résultat général.

On revient au cas général et on suppose X

non vide.

1. Montrer que ∀x ∈ X, f (x) ≥ sup {mx − f

(m), m ∈ X

} .

2. a. Soit m

, m

deux réels tels que m

< m

. Vérier que m ∈ [m

, m

] si et seule- ment si il existe t ∈ [0, 1] tel que m = tm

+ (1 − t)m

.

b. Montrer que si m

et m

sont dans X

avec m

< m

alors [m

, m

] ⊂ X

c. Qu'en déduit-on pour X

?

3. a. Montrer que X ⊂ X

et que ∀x ∈ X, f

(x) ≤ f (x) . b. A-t-on toujours X

= X ?

c. Montrer que X

= X

et f

= f

.

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