(principale : T) On considère la fonctionf dénie par f(x

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 2 22 septembre 2015

Exercice I. (principale : T)

On considère la fonctionf dénie par f(x) = 3x

x²−1 −3x−4. Calculer et simplier f

−1 2

.

Problème. (principales : T, secondaire : C,A) Soit la fonctionf dénie par f(x) =√

xln(x). On note C_f sa courbe représentative.

Si nécessaire, on donne 1

e '0.37 et 1

e² '0.14 1. DéterminerD_f.

On prolonge alorsf en 0 en posantf(0) = 0, et on considère dans la suite du problème la restriction à l'intervalleI = [0; 2] de la fonction ainsi obtenue, que l'on note encore f.

2. Calculer f(1).

3. Montrer que ∀x∈]0; 2], f⁰(x) = 2 + ln(x) 2√

x . 4. En déduire les variations def surI.

5. Donner les éventuels extrema de f surI. 6. Déterminer l'équation de la tangente à C_f en 1.

7. Tracer l'allure de la courbe représentative C_f sur I, en s'aidant des tangentes. (On admettra que la tangente à l'origine est verticale.)

Exercice supplémentaire. (principales : R,A) Déterminer les fonctions paires et croissantes surR.

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