HX4 — Devoir 1993/06
◮Rappel :C(R) d´esigne l’ensemble des fonctions continues deRdans lui-mˆeme.
◮Notons F l’ensemble des fonctions f ∈ C(R) qui v´erifient f(x+y)f(x−y) = ¡
f(x)f(y)¢2
quels que soient les r´eelsxet y.
Q1 Notonsf la fonctionx7→2(−2x2). V´erifiez quef est un ´el´ement de F.
◮Dans les cinq questions suivantes,f d´esigne un ´el´ement de F.
Q2 Quelles sont les valeurs possibles def(0) ?
Q3 Montrez que f est la fonction nulle si et seulement sif(0) = 0.
Q4 Montrez que, sif s’annule au moins une fois, alorsf est la fonction nulle.
Q5 Que pouvez-vous dire de f si elle ne s’annule pas ?
Q6 La continuit´e def ´etait-elle n´ecessaire pour r´epondre `a la question pr´ec´edente ?
◮Notons G l’ensemble des fonctions g ∈ C(R) qui v´erifient g(x+y) +g(x−y) = 2¡
g(x) +g(y)¢
quels que soient les r´eelsxet y.
Q7 Soit λun r´eel. V´erifiez que la fonction x7→λx2appartient `a G.
◮Dans les sept questions suivantes,g est un ´el´ement de G.
Q8 Quelle est la valeur de g(0) = 0 ?
Q9 g poss`ede-t-elle une parit´e ? Si oui, laquelle ?
Q10 Soientx∈Retn∈N. Exprimezg(nx) en fonction denet g(x).
Q11 Montrez que l’expression obtenue `a la question pr´ec´edente est en fait valable pour toutn∈Z.
Q12 Soientx∈Retr∈Q. Exprimezg(rx) en fonction de retg(x).
Q13 Montrez qu’il existe un r´eelλtel que g(x) =λx2pour tout r´eelx.
Q14 Soitg∈G. Que pouvez-vous dire de la fonction exp◦g?
Q15 Soit f ∈ F. Quel(s) ´el´ement(s) de G pouvez-vous lui associer hhnaturellementii? Indication : exploitez le r´esultat de la question pr´ec´edente.
Q16 Concluez, en ´enum´erant les ´el´ements de F.
[Devoir 1993/06] Compos´e le 7 mars 2008
