HX4 — Devoir 1993/18 ◮ Notons E = C(R, R). Q1 Soit f ∈ E ; justifiez l’existence de la fonction F : x ∈ R 7→ Z

HX4 — Devoir 1993/18

◮NotonsE=C(R,R).

Q1 Soit f ∈E; justifiez l’existence de la fonctionF : x∈R7→

Z ¹

0

tf(x−t)dt.

Q2 En effectuant le changement de variable u=x−t, montrez que F est de classe C¹, et explicitezF^′(x) en faisant intervenir une primitiveϕdef.

◮Nous noterons d´esormaisL(f) la fonction d´efinie par¡ L(f)¢

(x) = Z ¹

0

tf(x−t)dtpour toutx∈R Q3 V´erifiez queL: f ∈E7→ L(f) est un endomorphisme deE.

Q4 Lest-il surjectif ?

◮Soita∈R^∗; notonsf^a : t∈R7→e^at. Q5 Explicitez ¡

L(f^a)¢

(x) pourx∈R. Q6 Calculez la limite de ¡

L(f^a)¢

(x) lorsqueatend vers 0.

◮Dans les six questions suivantes, f est la fonction t∈R7→ 1

1 +|t|. Nous notons F =L(f) etγF la courbe repr´esentative deF.

Q7 Montrez que 06F(x)6 1

2 pour toutx∈R.

Q8 Explicitez F(x) pourx60, puis pour 0< x <1, et enfin pourx>1.

Q9 Donnez un ´equivalentsimple deF(x) lorsquex→ −∞, puis lorsquex→+∞. Pr´ecisez la nature exacte des branches infinies deγ^F, et leurs places respectives par rapport `a cette derni`ere.

Q10 Sans avoir recours `aF^′, pr´ecisez le sens de variation deF sur chacun des intervalles ]− ∞,0] et [1,+∞[.

Q11 ExplicitezF^′(x) etF^′′(x) pour 0< x <1. En d´eduire le tableau des variations deF, et tracezγF. Q12 R´edigez une fonction en Pascal d’en-tˆete :

1 function F(x:real):real;

´evaluantF(x), pourxdonn´e, avec la m´ethode des rectangles m´edians. Le nombre de pas sera fix´e dans une constlocale `a cette fonction.

◮Dans toute la suite, nous notons fn: t∈R7→tⁿ et Fn =L(fⁿ) pour n∈N. Nous identifions tout ´el´ement P deR[X] et la fonction polynˆome asoci´ee ;R[X] est donc consid´er´ee comme une partie deE.

Q13 ExprimezFn dans la base canonique (fk)k∈NdeR[X].

Q14 En utilisant Q2, donnez une autre expression deFⁿ(x).

Q15 SimplifiezSⁿ = X

06k6n

¡n k

¢

k+ 2.

Q16 Montrez queLinduit un automorphisme deRn[X], automorphisme que nous noterons d´esormaisLⁿ. Q17 Explicitez la matriceAdeL³dans la base canonique (f^k)⁰6k63deR3[X].

Q18 Explicitez A⁻¹ en fonction de I4, A, A² et A³. G´en´eralisez ce r´esultat `a la matrice de Ln dans la base canonique deR_n[X].

Q19 Quelle est la trace deLⁿ?

Q20 Quel est le spectre deLⁿ? Lⁿ est-il diagonalisable ?

[Devoir 1993/18] Compos´e le 7 mars 2008