HX4 — Contrˆole 1994/13
◮Notonsf : x∈]0,+∞[7→e−1/x.
Q1 Montrez que f peut ˆetre prolong´ee par continuit´e en 0.
Q2 Notons encore f le prolongement ainsi obtenu ; montrez quef est d´erivable sur [0,+∞[, et pr´eciserfd′(0).
Q3 Pourx >0 etn>1, ´etablissez :
f(n)(x) =Pn(x) x2n e−1/x
o`u Pn est une fonction polynˆome de degr´en−1. Vous ´ecrirez une relation exprimant Pn+1 en fonction de Pn etPn′.
Q4 Combien vautPn(0) ?
Q5 Explicitez le coefficient dominantan dePn. Q6 En d´eduire quef ∈ C∞¡
[0,+∞[,R¢
et expliciterfd(n)(0).
Q7 Montrez que f est solution d’une ´equation diff´erentielletr`es simple.
Q8 En d´eduire une relation tr`es simple entrePn+1′ et Pn pour n>0.
Q9 En d´eduire quePn est solution d’une ´equation diff´erentielle du second ordre.
◮Notons alors
Pn(x) = X
06k6n−1
αn,kxk
Q10 Pour 06k6n−2, ´etablissez la relationαn,k+1=−(n−k)(n−k−1) k+ 1 αn,k.
Q11 En d´eduire une expression deαn,kpourk∈[[0,n−1]], faisant intervenir des factorielles et/ou des coefficients binomiaux, mais pas de symbolesQ
. Retrouvez ainsi la valeur dean−1. Q12 ´Etablissez, pourn>2, une relation entrePn,Pn−1 etPn−2.
Q13 Prouvez que, pourn>1 etx∈R, on a :
Pn(x) = 1−n(n+ 1) Z x
0
Pn−1(t)dt
Q14 Uneracine d’une fonction polynˆomeP est un r´eel xtel queP(x) = 0. Montrez, au moyen du th´eor`eme de Rolle, qu’une fonction polynˆome de degr´enposs`ede au plusnracines.
Q15 D´emontrez le th´eor`eme deRolleg´en´eralis´e : si une fonctionϕde [a,+∞[ dans Rest continue sur [a,+∞[, d´erivable dans ]a,+∞[, et v´erifie lim
x→+∞ϕ(x) =ϕ(a), alors il existec∈]a,+∞[ tel queϕ′(c) = 0. Indication : commencez par faire quelques dessins pour vous convaincre de la validit´e de ce th´eor`eme ; ´etudiez alors la fonctionψ: t∈[0,1[7→ϕ³
a+ t 1−t
´apr`es l’avoir habilement prolong´ee par continuit´e.
Q16 Montrez que, pourn>2,Pn poss`edenracines r´eelles, deux `a deux distinctes, toutes dans ]0,+∞[, et que, pourn>3, ces racines sont s´epar´ees par celles dePn−1.
Q17 Notonsζn la plus petite racine r´eelle dePn. En observantPn
³ 1 2n
´, et en utilisant par exemple la relation
´etablie `a la question 12, d´eterminez la limite de la suite (ζn)n>1. Source : contrˆole 1992/07, exercice 2
[Contr^ole 1994/13] Compos´e le 7 mars 2008
