HX4 — Contrˆole 1994/17 Quelques rappels
◮SoitJ un intervalle de R. Une fonctionf deJ dansRest convexe si : f¡
λx+ (1−λ)y¢
6λf(x) + (1−λ)f(y) et ce quels que soientxety appartenant `aJ et λappartenant `a [0,1].
◮Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e deRet `a valeurs dansR, est born´ee et atteint ses bornes.
Notations et d´efinitions
◮SoitJ un intervalle deRd’amplitude non nulle. Une fonctionf deJ dansRestfortement convexes’il existe un r´eelα >0 tel que :
f¡
λx+ (1−λ)y¢
6λf(x) + (1−λ)f(y)−αλ(1−λ)(x−y)2
et ce quels que soient x et y appartenant `a J et λ appartenant `a [0,1]. Nous dirons alors que α est un param`etre de forte convexit´e def. Vous pourrez utiliser l’abr´eviationp.f.c. dans la r´edaction.
◮x ∈ J est un point optimal de f sur J si f(x) 6 f(y) pour tout y ∈ J. Autrement dit, f passe par un minimum absolu enx.
Quelques propri´et´es de la forte convexit´e
Q1 Prouvez que, si f : J 7→Rest fortement convexe surJ, alors elle est convexe surJ. Q2 Prouvez que la fonction exponentielle x∈R7→exn’est pas fortement convexe.
Q3 Prouvez que l’ensemble des param`etres de forte convexit´e def est un intervalle de la forme ]0, αmax].
Q4 Prouvez quef : x∈R7→x2 est fortement convexe. Pr´ecisez la valeur deαmaxdans ce cas.
Q5 Prouvez que, si f est une fonction continue d’un intervalle J ferm´e et born´e dans R, alors elle poss`ede au moins un point optimal.
Q6 Construisez un couple (J, f) o`u J est un intervalle ferm´e et born´e de R, et f une fonction continue deJ dansR, poss´edant une infinit´e de points optimaux, et qui ne soit constante sur aucun sous-intervalle de J d’amplitude non nulle.
Q7 Exhibez une fonctionf ∈ C∞(R,R) born´ee, non constante, et ne poss´edant pas de point optimal.
Q8 Soit f ∈ C(R,R) telle quef(x)−−−−→
x→−∞ +∞et f(x)−−−−→
x→+∞ +∞. Prouvez quef poss`ede au moins un point optimal.
Q9 Soient J un intervalle deR, etf une fonction convexe deJ dansR. Soitxun point deJ. Supposons que f poss`ede en x un minimum local, c’est-`a-dire : il existe x ∈ J et η > 0 tels que f(x) 6 f(y) pour tout y∈J∩]x−η, x+η[. Prouvez quexest un point optimal def.
Q10 Supposons toujours quef est une fonction convexe d’un intervalleJ deRdansR. Montrez que l’ensemble des points optimaux def est, soit vide, soit un intervalle contenu dans J.
Tournez S.V.P.
Existence et unicit´e du point optimal pour une fonction fortement convexe de R dans R
◮Dans cette partie,f d´esigne une fonction fortement convexe deRdansR; nous allons ´etablir qu’elle poss`ede un et un seul point optimal.
Q11 Supposant quef poss`ede au moins un point optimal, ´etablissez l’unicit´e de celui-ci.
Q12 ´Etablissez, pourn∈Z:f(n)6f(n−1) +f(n+ 1)
2 −α.
Q13 En d´eduire quef(n)−−−→
n→∞ +∞. Montrez de mˆeme quef(−n)−−−→
n→∞ +∞. Q14 Concluez, en utilisant par exemple Q5 et Q9.
Q15 Exhibez une fonctionf deRdansRconvexe, mais ne poss´edant pas de point optimal.
Approximation du point optimal
◮Dans cette partie, nous supposons quef ∈ C1(R,R) est fortement convexe. Nous supposons ´egalement que f′ estM-lipschitzienne, avec M >0. Notonsx∗le point optimal def; l’existence dex∗r´esulte de la partie pr´ec´edente.
Q16 Montrez queM majore (au sens large) tout param`etre de forte convexit´e def. Q17 Am´eliorez le r´esultat pr´ec´edent en montrant que M
2 majore (au sens large) tout param`etre de forte convexit´e def. Est-il possible de faire encore mieux ?
◮Soit (λn)n∈Nune suite de r´eels positifs. Fixons un r´eelx0, et d´efinissons les autres termes d’une suite (xn)n∈N par la relation :xn+1=xn−λnf′(xn). αd´esigne un param`etre de forte convexit´e def.
Q18 Prouvez que, pour toutn∈N, on a :
¡xn+1−x∗¢2 6¡
M2λn
2−2αλn+ 1¢¡
xn−x∗¢2
Q19 SoitF : t∈R+ 7→F(t) = (M t)2−2αt+ 1. D´eterminezaetb(avec 06a < b) tels queF(t)61 ssit∈[a, b].
Q20 Soienta′ etb′ tels quea < a′ < b′< b. Supposons que lesλn sont tous dans [a′, b′]. Prouvez l’existence de β∈[0,1[ tel que, pour toutn∈N:
¯¯xn+1−x∗¯
¯6β¯
¯xn−x∗¯
¯ En d´eduire, dans ce cas, le comportement de la suite (xn)n∈N. Q21 Prouvez que, pour toutn∈N, on a :
06f(xn)−f(x∗)6M¯
¯xn−x∗¯
¯
2
et concluez.
[Contr^ole 1994/17] Compos´e le 7 mars 2008
