Ensemble des points M tel que

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Complexes

^{M : Zribi}

4 ^èmeMaths Fiche

2008/2009 ¹

Ensemble des points M tel que OM=r :

Il faut retenir que :

 OM=r signifie que M décrit le cercle de centre O et de rayon r.

 AB=|zB-zA|.

Exemple 1 : déterminer l’ensemble ={M(z) ; |z|=2}

|z|=2 sig OM=2 sig M décrit le cercle de centre O et de rayon 2.

Donc =(O,2) .

Exemple 2 : déterminer ={M(z) ; |z-2i|=3}

|z-2i|=3 sig AM=3 avec A(2i) sig M décrit le cercle de centre A et de rayon 3.

Donc =(A,3).

Exemple 3 : déterminer l’ensemble ={M(z) ; |(1+i)z+1|=2}

1 1

(1 ) 1 2 | (1 )( ) | 2 1 2

1 2

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

i z sig i z sig i z i

i

i i i

sig z sig z sig AM avec A

         



    

      

Donc =_(A, ₂₎.

Exemple 4 : déterminer l’ensemble ={M(z), z i 2}

2 2 2 2 ( )

z i sig z i sig z i sig AM  avec M i il faut savoir que ^z ^ ^z Donc =(A,2).

Ensemble des points M tel que

^AM ¹

BM 

 M ≠ B ; AM 1

BM  sig AM=BM sig M décrit la médiatrice de [AB].

Exemple 1 : déterminer l’ensemble ={M(z) ; |z+2i|=|z+1-i|}

|z+2i|=|z+1-i| sig AM=BM avec A(-2i) et B(-1+i) Donc  =med[AB]

Exemple 2: determiner l’ensemble ={M(z); ¹ 1 2 iz z i

 

 }

 

1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 ( ) (2 )

z i

iz z i z i

sig i sig i sig

z i z i z i z i

sig AM avec A i et B i sig M décrit med AB BM

       

   

 

Donc =med[AB].

(2)

L.S.Marsa Elriadh

Complexes

^{M : Zribi}

2008/2009 ² Exemple 3 : déterminer ={M(z) ; ⁽¹ i ³⁾z ¹ 2

z i

  

 }

1 1 3

(1 3) 1 2 (1 3) 1 3 2 1 3 4 2

1 3 1 3

4 4 1 3

1 1 1 ( ) ( )

4

z z i

i z sig i i sig i

z i z i z i

i i

z z

AM i

sig sig sig avec A et B i

z i z i BM

  

       

  

 

 

    

 

Donc = med [AB].

Ensemble des points M(z) tel que Z=f(z) est réel ou imaginaire :

 Z réel sig Im(Z)=0 ; Z est imaginaire sig Re(Z)=0.

 Z est réel sig Z Z ; Z est imaginaire sig Z  Z.

 Z est réel non nul sig arg(Z)0( ) ; Z est imaginaire sig arg(Z) ( )

 2





' '

' 0 ;

' ; '

u u

u

z z

sig u est colinéaire avec u i sig u est orthogonale avec u

z z



 

Exemple 1 : déterminer l’ensemble E={M(z) ; ¹

² Z z

z

   } On pose z=x+iy≠0

  

 

( 1) ( ² ²) 2

( 1)

² ² 2 [ ² ² 2 ) ² ² 2

( 1)( ² ²) 2 ² ( ² ²) 2 ( 1)

( ² ²)² (2 )² ( ² ²) (2 )²

( ² ² 2 )

Im( ) 0 ( ² ² 2 ) 0 ( , ) (0, 0)

( ² ²) (2 )²

x iy x y ixy

x iy

Z x y ixy x y ixy x y ixy

x x y xy y x y xy x

x y xy i x y xy

y x y x

Z IR sig Z sig y x y x et x y

x y xy

   

   

     

     

 

   

  

       

 

Sig y=0 ou x²-2x+y²=0 sig y=0 ou (x-1)²+y²=1

Sig M décrit  :y=0 ou le cercle  de centre A(1,0) et de rayon 1 privée de O Donc E=U /{O}

Exemple 2 : déterminer l’ensemble E={M(z) ; Z ^z IR

 z i 

 }

(3)

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^{M : Zribi}

2008/2009 ³

O I

A

B

T H

H A

2

; ²

² ( ) 0 ( )( ) 0 0

: 0 1

2

z z z

z i Z IR sig Z Z sig sig z i z z iz

z i z i z i

sig z z i z z sig z z z z i sig z z ou z z i on pose z x iy on aura y ou y

        

  

            

    

Donc E=U’ avec  :y=0 et ’ :y= ¹ 2



Exemple 3 : déterminer l’ensemble E={M(z) ; Z=^iz ²

z i



 }

2 2

; ^AM ( 2 ) ( )

BM AM

BM

iz z i z

z i Z i i avec A i et B i

z i z i z

Z IR sig z iIR sig AM BM z

 

    

 

  

il faut savoir que : ^AM ^^BM sig M décrit le cercle de diamètre [AB]

Donc M décrit le cercle de diamètre [AB] privé de B.

Remarque : ^AM

BM

Z iIR sig z IR sig AMet BM col

 z  donc M décrit la droite (AB)

privée de B.

Il faut savoir que : AMet BM col sig que M décrit la droite (AB).

Exemple 4 : déterminer l’ensemble E={M(z) ; Z ⁽¹ ^{i z}⁾ ¹ IR z i

 

 

 }

1

(1 ) 1 1

arg( ) (2 ) arg (1 ) (2 ) ;

1 2 1

arg(1 ) arg( )(2 ) ( , )(2 ) ( ) ( )

4 2

i z z i

Z i M A et M B

z i z i

z i

i AM BM avec A i et B i

z i

 

  

  

 

  

        

 

  

     



arg( ) 0( ) ( , ) 0( ) ( , ) ( )

4 4

ZR sig Z   sig   AM BM   sig AM BM  ^ 

Donc M décritle cercle passant par A et B et tangent à (AT) ou

( , ) (2 )

AT AB  ^4  privé de A et B.

(4)

L.S.Marsa Elriadh

Complexes

^{M : Zribi}

2008/2009 ⁴ Remarque :

 arg( ) 0(2 ) ( , ) 0(2 ) ( , ) (2 )

4 4

ZR_ sig Z   sig   AM BM   sig AM BM  ^ 

Donc M décritl’arc ABdu cercle passant par A et B et tangent à (AT) ou

( , ) (2 )

AT AB  ^4  privé de A et B.

 arg( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (2 )

2 4 2 4

ZiR sig Z   sig   AM BM   sig AM BM  

Donc M décritle cercle passant par A et B et tangent à (AT) ou

( , ) (2 )

AT AB  4 privé de A et B.

Ensemble des points M(z) tel que z=a+e

ⁱ^

ou a  et  ≤  ≤ 

z=a+eⁱ^ sig z-a=eⁱ^ sig ^¨| ^{| 1} ¹

arg( ) (2 ) ( , ) (2 )

z a AM

z a   sig i AM  

 

   

   

   avec A(a)

Exemple 1 :déterminer l’ensemble E={M(z) ; z=i+eⁱ^; [0

2

 ]}

z=i+eⁱ^ sig z-i=eⁱ^

| | 1

arg( ) (2 ) ; 0

2 z i

sig z i    

  

    

 ¹ ( )

( , ) (2 ) AM

sig A i

i AM  

 

 



sig

( ) 1

0 ( , ) 2

M est sur le cercle C de centre A et de rayon i AM 



  

 donc M décrit l’arc BJdu cercle (C)

avec B(1+i) et J(2i).

Exemple 2 : déterminer l’ensemble E={M(z) ; z=3+( 3i)eⁱ^; [0,]}

z=3+( 3i)eⁱ^ sig z-3=( 3i )eⁱ^ sig z-3=e eⁱ⁶ ⁱ 2eⁱ⁽⁶ ⁾

   



| 3 | 2

arg( 3) (2 ) ; 0

6 2

z

sig z     

  

     



2

( , ) (2 ) (3) 6

AM

sig A

i AM   

 

  



sig

( ) 2

( , ) 7

6 6

M est sur le cercle C de centre Aet de rayon

 i AM 



  

 donc M décrit l’arc BJdu cercle (C)

avec B(2eⁱ⁶



) et J(2

7 i 6

e



).