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(BM ) et (C M ) avec la droite d’Euler du triangle ABC

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Academic year: 2022

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Problème D187. Le rendez-vous d’Euler et de Fermat Solution proposée par Louis ROGLIANO

Désignons par Oa , Ob et Oc les troisièmes sommets des triangles équilatéraux construits extérieurement au triangle ABC respectivement sur les segments BC , C A et AB et par Ga, Gb et Gc leurs centres de gravité.

On sait d’après le théorème de Napoléon que le triangle Ga Gb Gc est équilatéral et que son centre de gravité est le point G centre de gravité du triangle ABC. Il en résulte par exemple que les droites (AOa ) et (GGa ) sont parallèles.

Désignons par M le point de Fermat du triangle ABC. Il est bien connu que ce point est à l’intersection des droites AOa, BOb et COc. Soient Ma , Mb et Mc les intersections respectives des droites (AM ), (BM ) et (C M ) avec la droite d’Euler du triangle ABC. Désignons par Pa le point d’intersection de la droite (C M ) avec la droite (GGa ). Les segments M Ma et GPa sont homothétiques dans une homothétie de centre Mc.

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Si M est sur la droite d’Euler, l’un au moins des segments M Ma, M Mb , M Mc est réduit à un point. Supposons donc que ce soit le segment M Ma. Alors il en est de même du segment GPa et la droite d’Euler est confondue avec la droite (C M ). Cette dernière est donc à la fois médiane et hauteur du triangle ABC. Il en résulte que ABC est isocèle de sommet C.

Deux démonstrations identiques pour les deux autres cas: ABC isocèle de sommet B ou de sommet A. Les valeurs possibles des angles sont donc:

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