Ce qu’il faut savoir sur !

Sciences de l’ingénieur Ce qu’il faut savoir sur !

cqfsbode Lycée Jacques Amyot

Auxerre 08/01/2007 Page 1 sur 2

ASSERVISSEMENTS : DIAGRAMMES DE BODE

1) GENERALITES :

Ces diagrammes sont tracés dans le cadre d’une étude fréquentielle des systèmes. Ils permettent d’analyser le comportement de ceux- ci lorsqu’on les stimule avec une entrée sinusoïdale dont on ferait varier la pulsation (donc la fréquence).

L’étude théorique consiste à analyser la fonction transfert du système en remplaçant la variable de Laplace p par le nombre complexe jω.

2) SYSTEME DU 1

^ER

ORDRE : p p K

H = + ⋅ 1 τ )

( se transforme en

ω ω τ

⋅

⋅

= +

⋅ j

j K H ( ) 1

Gain : Phase :

( ⋅ ω )

⋅

= H j

dB

G ( ) 20 log Soit :

( ) ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝

⎛ + ⋅

⋅

−

⋅

= 20 log 20 log 1

^{2 2}

)

( dB K τ ω

G

Etude aux limites :

•

Pour les basses fréquences :

( )

0

log 20 ) (

→

⋅

→ ω

K dB

G

G(dB) tend vers une droite horizontale d’ordonnée 20 log(K)

•

Pour les hautes fréquences :

( )

+∞

→

⋅

⋅

−

⋅

→ ω

ω τ ) log(

20 log

20 )

( dB K

G

G(dB) tend vers une droite de pente -20 dB /decade

•

Pulsation de coupure :

Recherche de l’abscisse de l’intersection de ces deux asymptotes. Cette abscisse est appelée pulsation de coupure et est notée

ω

_c

Pour

ω = ω

_c on peut écrire :

( ) K = ⋅ ( ) K − ⋅ ( τ ⋅ ω

_c

)

⋅ log 20 log 20 log 20

finalement

ω

_c

= τ ¹

Diagramme : voir ci-dessous.

( )

( ω )

φ ( ° ) = arg H j ⋅

Soit :

φ ( ° ) = − arctan ( τ ⋅ ω )

Etude aux limites :

• Pour les basses fréquences :

0 0 ) (

→

→

° ω φ

φ(°) tend vers une droite horizontale d’ordonnée 0

• Pour les hautes fréquences :

+∞

→

°

−

→

° ω

φ ( ) 90

φ(°) tend vers une droite horizontale d’ordonnée -90°

• Pulsation de coupure :

°

−

= 45 ) ( ω

_c

φ

Diagramme : voir ci-dessous.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

-42.5 -37.5 -32.5 -27.5 -22.5 -17.5 -12.5 -7.5 -2.5 2.5 [dB] Am plitude

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.7 0.8 0.91 2 3 4 5 6 7 8910 20 30 40 50 607080 100

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

-95 -85 -75 -65 -55 -45 -35 -25 -15 -5 5

[°] Phase

20 dB/dec

Une décade

20 log(K)

ω

_c

= τ ¹

2 ω

C

ω

C

ω

C

2 ⋅

3 dB 1dB

1dB -20 dB /dec

0°

-90°

-45°

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2) SYSTEME DU 2

^ND

ORDRE :

2 2

1 1 2

) (

p a p

p K H

n

n

ω

ω ^{⋅ +} + ⋅

= se transforme en

n n

a j j K

H

ω ω ω

ω ω

⋅

⋅

⋅

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

⋅

2 1

)

(

₂

Généralement on pose :

n

u

ω

ω = ω pulsation réduite, donc :

u u

u

j a

j K

H ω ω ω

⋅

⋅

⋅ +

= −

⋅ ) 1 2

(

₂

Gain : Phase :

( ⋅ ω )

⋅

= H j

dB

G ( ) 20 log

Soit :

( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + ⋅ ⋅

⋅

−

⋅

= 20 log 20 log 1

^{2 2}

4

^{2 2}

)

( dB K

_u

a

_u

G ω ω

Etude aux limites :

• Pour les basses fréquences :

( )

0

log 20 ) (

→

⋅

→ ω

K dB

G

G(dB) tend vers une droite horizontale d’ordonnée 20 log(K)

• Pour les hautes fréquences :

( )

+∞

→

⋅

−

⋅

→ ω

ω ) log(

40 log

20 )

( dB K

_u

G

G(dB) tend vers une droite de pente -40 dB /decade

• Pulsation de coupure :

Recherche de l’abscisse de l’intersection de ces deux asymptotes. Cette abscisse est appelée pulsation réduite de coupure et est notée

n c

uc

ω

ω = ω

Pour

ω

_u

= ω

_uc on peut écrire :

( ) K 20 log ( ) K 40 log ( ) ω

_uc

log

20 ⋅ = ⋅ − ⋅

finalement

ω

_uc

= 1

donc

ω

_c

= ω

_n

Diagramme : voir ci-dessous.

( )

( ^ω )

φ ( ° ) = arg H j ⋅

Soit :

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

−

⋅

− ⋅

=

°

₂

1 arctan 2 )

(

u

a

u

ω φ ω

Etude aux limites :

• Pour les basses fréquences :

0 0 ) (

→

→

° ω

u

φ

φ(°) tend vers une droite horizontale d’ordonnée 0

• Pour les hautes fréquences :

+∞

→

°

−

→

° ω

u

φ ( ) 180

φ(°) tend vers une droite horizontale d’ordonnée -180°

• Pulsation de coupure :

°

−

= 90 ) ( ω

_uc

φ

Diagramme : voir ci-dessous.

Résonance d’amplitude : La courbe G(dB) passe par un maximum si

2

< 2 a ^.

•

L’abscisse du point de résonance est repérée par la pulsation de résonance :

2

2

1 a

n

r

= ω ⋅ − ⋅

ω

• l’ordonnée

:

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

−

⋅

⋅ ⋅

=

1

2

2 log 20 ) (

a a

G ω

_r

K ,

Le coefficient de surtension est défini par :

1

2

2 1

a a

Q = ⋅ ⋅ − ou en dB ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝

⎛ ⋅ ⋅ −

⋅

−

= 20 log 2 1

²

)

( dB a a

Q

-80 -60 -40 -20 0

-70 -50 -30 -10

[dB] Am plitude

0.01 0.02 0.04 0.1 0.2 0.4 1 2 3 4 6 10 20 30 50 100 -150

-100 -50 0

-175 -125 -75 -25

[°] Phase

-40dB/dec 20 log(K)

0°

-180°

n

c

ω

ω =

-10 0 10

-5 5

[dB] Am plitude

Q(dB)

2

2

1 a

n

r

= ω ⋅ − ⋅

ω

n

c

ω

ω =