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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/
Fiche 02
Produit Scalaire dans le plan.
Avec u→→→→ et v→→→→ →→u.v→ = || u→ || × || v→ || × cos (u→ ,v→) )
→→u . v→ = xx’ + yy’ si u→ (x ;y) et v→ (x’ ;y’) dans (O ; i→ ; j→) orthonormé.
Remarque : Le produit scalaire u→ .v→ est négatif SSI l’angle orienté (u→ ,v→) a une mesure comprise entre 90° et 270° (angle obtus).
→→u.u→ = ||u→||² que l’on notera u→² (carré scalaire du vecteur u→).
Remarque : Si u→( x , y ) dans un repère orthonormé, on retrouve la relation ||u→||² = x² + y² à l’aide des deux résultats précédents.
Avec AB→→→→ et AC→→→→ →AB→ . AC→ = AB × AC × cos (AB→, AC→) ) = AB × AC × cos(BAC)
→AB→ ² = AB²
Propriétés importantes : →→u.u→ = 0 ⇔ ||u→||² = 0 ⇔ u→ = o→
→→u.v→ = 0 ⇔ u→ ⊥ v→ (par convention, o→ est orthogonal à tout autre vecteur)
→ (u→ + v→)² = u→² + 2u→.v→ + v→² → (u→ + v→)(u→ − v→) = u→² − v→² →(u→ − v→)² = u→² − 2u→.v→ + v→²
Relation d’Al Kashi : a² = b² + c² − 2bc cos(Â) où a = BC, b = AC et c = AB.
Formule à savoir retrouver : exprimer a² à l’aide des vecteurs AB→ et AC→.
Distance d’un point à une droite. Soit (d) la droite d’équation ax + by + c = 0 et A(xa ;ya). Alors, d(A ;∆)= |axa + bya +c|
a²+b² .
Démo à connaître : Elle a été vue en 1èreS. Nous la (re)démontrerons pour la distance d’un point à un plan.
Application 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère A(2 ; -1) et on note C le cercle de centre A et de rayon 1. Soit (d) la droite d’équation y = 2 – x.
Etudier les positions relatives de D et C.
Equation de cercle.
Par définition, le cercle C de centre I et de rayon r est l’ensemble des points M tels que IM = r. On en déduit que : (1) Le cercle (C) de centre I(xo,yo) et de rayon r a pour équation (x−xo)²+ (y−yo)² = r².
(2) Réciproquement, (x−a)² + (y−b)² = r² est l’équation du cercle de centre I(a;b) et rayon r.
Application 2 :
a. Prouver que l’ensemble des points M(x ;y) tels que x² + y² - 4x + 2y + 4 = 0 est un cercle.
Préciser son rayon et les coordonnées de son centre.
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C et (d) : y = 2 – x.
Caractérisation importante du cercle.
Le cercle (C) de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que MA→ .MB→ = 0.
Exo 1 : Soit [AB] un segment de milieu I.
a. Déterminer et représenter l’ensemble des points M tels que
(
MA MB MB+)
. =0.b. Déterminer et représenter l’ensemble des points M tels que
(
MA MB MB−)
. =0.A I B
A B
C
c a
b
