Leçon 34 Produit scalaire dans le plan

Leçon 34 Produit scalaire dans le plan

Activités

Dans chacun des cas suivants, donner les coordonnées des

points A,

B, C puis

calculer

cns nÀC .

a.

Le cours

l. Définition:

Dans un repère orthonormé, les

vecteuo i ^{et J}

^{ont pour} coordonnées respectives

(x; y)

et

(x' ; ^y')

Le produit scalaire des vecteurs

i

"t i,

est le

nÉEL

xx'+y

y'

-

On

le

noæ

l-# _6ire ^< i

^scalaire

i ⁿ⁾ , l.l =

^xx'+y

y'

Exemple I

^:

Soit le ;, ^et lç3;

^{4) .}

^Calculer

le produit scalaire

i .i

Solution:

on

a

: ;.; =(z[-l)+(:Xa)

=

4+r2 : 6.

Propriétés

l.

^Soit trois

vecteurs I

,Y

, ^It

^{et un}

^réel

^{a , on L:}

l. tt-v :v.tt

2. i.b *;):; ^.i *i.i

3. "tF il=bù; ^=;.b;)

4.6.r=8.6:o 5. î.8 =P :llûf

. pp rr0r2 pp

^rr0rz

6. '.;=l|'ll ^=r, j.i _=lljll :t,i.j:o.

2. Si d

^est la mesure de I'angle des

vecteurs i

"ti

^{tel que O}

^{< e}

^< 180" alors

î

.g =llûl ^. ilfl

*,

^B

Mathématique C4-159

=v Démonstration:

D'après

le théorème de cosinus :

OPrP, ^est un triangle.

I-l ^:,oro,

^{+ b,b,}

(2)

(p,n)' :

(o

4\

^{+ (qo}

^e,y -

^z |1fl I 1|fl ;.o,

a

(o,

- ^{o,)' *}

^(b,

- b,)' : (ol * ui).Q', * û) -2il41 ilq*'

^e

^{... (r)}

D'autre

part, on a : (o,

- ^or)' -

^(b,

- ^br)'

⁼

b?

⁺

fi)+bi ^* û) -z(o,o,

⁺

^{b,br) ...}

D'après (l)

et (2), on a :

a,a2 +

b,b,:ll4lllfll*. 0

^donc

1.8 =lûlllfll*,8 3. Soit

deux vecteur"

i,l,

^{non nuls.}

I. i ^{et J}

^sont orthogonaux si et seulement

si I

^-

l :0

^:

uLv e u.v :0

2. u et v

sont colinéaires si et seulement

si f.8: ^ql4illl

^.

Exemple 2 : Calculer le cosinus de I'angle des vecteurs

I ^et frtel

qrre :

-f't1 u-=l-l

LIJ Solution

: D 'après

' ^I

^.9 =llû111fl;

*' ^(f

;

E

On obtient donc

:

"or(f,

^:

h:,#ffi

on

a

: l.l =ex2)+(3x t):7

11fl1:Jz+z'=Jr ;

^ilql

^{:JF *t, : Js}

Donc

"o,(f; o=#ffi ^: dÆ=h:+

Exemple 3 ^:

Le

triangle

ABC est isocèle de base

[AC]. Montrer

^{que la} médiane issue de sommet

B

est perpendiculaireà la base

[AC].

Mathématique C4-160

'=[;] "

Solution :

ABC

est

isocèle de

base

[AC], on a: BA=BC. Soit M, le point milieu de

la

base[AC].

On

va

montrer que la médiane (BM) est perpendiculaire à la base

tACl.

- r'r'

_rrF|r

Onpose

: AB =u, ^BC :y

donc

llrll:lltll on a: 1ô

_{= AB +}

Bô :i*i

Mô =)n =)tr-ù-

rrrÉ ₌

vc * cB : :(; 2', ', ^{- ;)-;}

⁼

16 ^2' -;)

Donc

MB.

MC : !E- _{;).1(; . ;)}

z', ',2'

^I

=ib-;) ^(;.;)

_t(- -\- ^Ê -\-l :ot, -v)'u+V+v)'vl

lF - * ^_\

:-ht-tr-v.u+u'v+v.v) 4'

MB

MC =

)fitir-ilfl' ^{)= o .u,}

ilal = ilql DO

Puisque MB

+0, MC

+

0,

donc MB

LMC

^-

On

obtient donc la médiane (BM) est perpendiculaire à la base

IACI.

Exercices

1.

^Dans chacun des cas, calculer le

produit

scalaire

i

^{. J}

a.tt=3i+4j&v:Zf+j b. i =zi+sj ^a.;,

^L-

+i 2.

^{ABC est un}

triangle

tel que

À=9O", AB =2

, AC =

Ji, ^{BC :3.}

Calculer le

produit

scalaire suivant.

EÀ.8C, AB.BC

"t T.cÀ.

3. ^{ABC est un} triangle tel que

Ê

: 45", ô ^:30",

_{AB =}

Jl, AC =2, BC= JJ+l

^.

Calculer les produits scalaires ffi.ië,A'iË,ffi.fr etëË.&

4. ^Dans chacun des cas, calculer la mesure de I'angle des

vecteurs Ietl.

a. i=3i+zj *i,=si+6t- b. -2i +6j

Calculer

^:

5. ^{Soit trois vecteurs,} _{=[_l t} t :É]

. ^u.; i*à.i b. ^tt,_i,) (;.;)

Mathématique

C4-l6l

c. É b.u) ^{o. (,* u)tA-r)}

6. Soit deux vecteurs Ë et Ë. Dans chacun des cas. donner la nature de

I'angle des vecteurs H et

Ë .

a. à.iro b. à.t=o c. â.i.0

1. ^{Dire si les} deux vecteurs sont perpendiculaires.

l-zl l- :l . ^{l-zl l--rl}

u L,l'L-rj ^{o Lul'L ,j}

8. ^{Soit deux} vecteurs I ^et I ^{tels que} i ^:

^(t

_- *l ^*

^z1-

*i, : _*i * (^

+

z)j

^.

Détermi4er le réel m povr que

^:

a. i t-; ^b. ilAl:

ilql

9. ^{Soit deux} vecteurs i eti ^non nuls. Montrer que

:

a.

_ll8

+fl1'=ilAl' +28.8*ilfl' ^b. _ilf-q' ^: _ilfl' -28.8*ilfl'

10. Soit deux vecteurs non nuls f ^et l. Montrer que

^:

a. Si i _{t-i, ,} alors

_ll8

*ûl'= _ilfl' * ilfl' . ^{b. Si i r i, alors}

lr -qf :llïf _*ilq'.

1

1. ^{ABC est un} triangle rectangle en A tel que

:

llrtll= u,l*l:c ^et _ll-ll=a. Montrer que a'=bz ^+c2.

12. ^Soit _{llûl=2, ilfl:+} ^a

118+fl1=6.

Calculer ;.;.

13. ^Soit ilfl=r,ilfl:l * ll?-ql=û3. Calculer

11zl+fl1.

14. ^Soit _{ilfl=s, ilfl::} a 111+fl1=Jr3. Calculer If-fl|.

1

5. ^{Soit trois vecteurs} i ,i, u i ^{tels que}

il Al =

ilq ,llî -fl ^{: p*}

_'81

et @;h=x".

Calculer la mesure de l'angle des vecteurs fr et l,

^.

Mathématique C4-162