Produit scalaire dans le plan

(1)

Produit scalaire dans le plan www.mathGM.fr Les savoir-faire Produit scalaire dans le plan Propriété du produit scalaire Applications du produit scalaire

Produit scalaire dans le plan

www.mathGM.fr

Lycée Louise Michel (Gisors)

(2)

Les savoir-faire

310. Calculer un produit scalaire à l’aide de normes et d’un angle.

311. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec une projection orthogonale.

312. Calculer un produit scalaire dans un repère.

313. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec des normes.

314. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer une longueur ou un angle.

315. Choisir une méthode adaptée pour le calcul d’un produit

scalaire en vue de la résolution d’un problème.

(3)

Définition avec normes et angle

Définition : produit scalaire

Soit ~ u et ~v deux vecteurs non nuls du plan. Il existe trois points A, B et C tels que ~ u = − − →

AB et ~ v = −→

AC.

On appelle produit scalaire des vecteurs ~ u et ~ v le nombre réel noté ~ u · ~ v défini par : ~ u · ~ v = k~ uk × k~ vk × cos( BAC). ’ Autrement dit, − − →

AB · −→

AC = AB × AC × cos( BAC). ’

Remarques :

Si ~ u = ~ 0 ou ~ v = ~ 0 alors ~ u·~ v = 0.

On appelle carré scalaire du vecteur −− →

AB la quantité −− → AB· − − →

AB et on la note − − →

AB ² . Ainsi : − − →

AB ² = k − − →

ABk ² = AB ² . A

B

~ C u

~ u

~ v

~

v

(4)

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires

(5)

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = .

(6)

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = AB × AC.

Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de sens contraire, alors − − →

AB · −→

AC = .

(7)

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = AB × AC.

Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de sens contraire, alors − − →

AB · −→

AC = − AB × AC.

(8)

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = AB × AC.

Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de sens contraire, alors − − →

AB · −→

AC = − AB × AC.

Exemple

Soit un triangle équilatéral ABC de côté 5.

Calculer −→

AB ·

− →

AC . Vidéo

(9)

Définition avec la projection orthogonale

Propriété : produit scalaire et projection orthogonale Soit trois points A, B et C avec A et B distincts.

Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

Alors : − − →

AB · −→

AC = −− → AB · −−→

AH

A B

C

~ u

~ v

H A B

C

~ u

~ v

H

(10)

Définition avec la projection orthogonale

Propriété : produit scalaire et projection orthogonale Soit trois points A, B et C avec A et B distincts.

Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

Alors : − − →

AB · −→

AC = −− → AB · −−→

AH

A B

C

~ u

~ v

H A B

C

~ u

~ v

H

Exemple

ABCD est un carré. Calculer le produit scalaire : −→

AB ·

−→ AC . Vidéo

(11)

Symétrie et bilinéarité

Propriétés : symétrie et bilinéarité du produit scalaire

Soit ~ u, ~ v et w ~ trois vecteurs du plan et k un réel.

(12)

Symétrie et bilinéarité

Propriétés : symétrie et bilinéarité du produit scalaire Soit ~ u, ~ v et w ~ trois vecteurs du plan et k un réel.

Symétrie : ~ u · ~ v = ~ v · ~ u

(13)

Symétrie et bilinéarité

Propriétés : symétrie et bilinéarité du produit scalaire Soit ~ u, ~ v et w ~ trois vecteurs du plan et k un réel.

Symétrie : ~ u · ~ v = ~ v · ~ u

Bilinéarité : (k~ u) · ~v = ~ u · (k~v) = k × (~ u · ~ v) et

~

u · (~ v + w) = ~ ~ u · ~v + ~ u · w ~

(14)

Expression en base orthonormé

Propriété : expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Dans une base orthonormée ( ~ı , ~ ), on considère ~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) deux vecteurs.

Alors :

~ u · ~ v =

(15)

Expression en base orthonormé

Propriété : expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Dans une base orthonormée ( ~ı , ~ ), on considère ~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) deux vecteurs.

Alors :

~ u · ~ v = xx ^′ + yy ^′

(16)

Expression en base orthonormé

Propriété : expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Dans une base orthonormée ( ~ı , ~ ), on considère ~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) deux vecteurs.

Alors :

~ u · ~ v = xx ^′ + yy ^′

Exemple

On donne deux vecteurs ~ u

₋ ₃

4 et ~ v

₋ ₁

5 .

Calculer ~ u · ~ v . Vidéo

(17)

Norme d’un vecteur

Propriété : expression de la norme en base orthonormée Dans une base orthonormée ( ~ı , ~ ), on considère le vecteur

~ u(x ; y).

Alors la norme du vecteur ~ u, notée k~ uk, est donnée par : k~ uk = p

x ² + y ²

(18)

Vecteurs orthogonaux

Définition : vecteurs orthogonaux

Soit ~ u et ~v deux vecteurs non nuls du plan et A, B, C et D quatre points tels que ~ u = −− →

AB et ~v = −−→

CD. Les vecteurs ~ u et ~ v sont dits orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. On note ~ u ⊥ ~ v.

A

B C

~

u D

~ v

Le vecteur nul ~ 0 est orthogonal à tout vecteur du plan.

(19)

Vecteurs orthogonaux

Définition : vecteurs orthogonaux

Soit ~ u et ~v deux vecteurs non nuls du plan et A, B, C et D quatre points tels que ~ u = −− →

AB et ~v = −−→

CD. Les vecteurs ~ u et ~ v sont dits orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. On note ~ u ⊥ ~ v.

A

B C

~

u D

~ v

Le vecteur nul ~ 0 est orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété : nullité du produit scalaire

Deux vecteurs ~ u et ~ v sont orthogonaux si et seulement si :

~

u · ~ v = 0

(20)

Critère d’orthogonalité

Propriété : critère d’orthogonalité

Dans une base orthonormé, on considère deux vecteurs

~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) :

Alors, ~ u et ~ v sont orthogonaux si et seulement si :

xx ^′ + yy ^′ = 0

(21)

Critère d’orthogonalité

Propriété : critère d’orthogonalité

Dans une base orthonormé, on considère deux vecteurs

~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) :

Alors, ~ u et ~ v sont orthogonaux si et seulement si : xx ^′ + yy ^′ = 0

Exemple

On donne les points A (2 ; 1), B (5 ; 3), C (1 ; 4) et D (5 ; − 2).

Démontrer que ( AB ) et ( CD ) sont perpendiculaires. Vidéo

(22)

Expression du produit scalaire à l’aide de normes

Propriété : calcul de k~ u + ~vk ² Pour tous vecteurs ~ u et ~ v :

k~ u + ~ vk ² = k~ uk ² + k~ vk ² + 2~ u · ~ v

(23)

Expression du produit scalaire à l’aide de normes

Propriété : calcul de k~ u + ~vk ² Pour tous vecteurs ~ u et ~ v :

k~ u + ~ vk ² = k~ uk ² + k~ vk ² + 2~ u · ~ v

Propriété : expression du produit scalaire à l’aide de normes Pour tous vecteurs ~ u et ~ v :

~ u · ~ v = 1

2 k~ u + ~vk ² − k~ uk ² − k~ vk ²

(24)

Formule d’Al-Kashi

Propriété : Formule d’Al-Kashi Soit ABC un triangle. On note :

a = BC, b = AC, c = AB.

Alors :

a ² = b ² + c ² − 2bc cos A b A

B C

a b

c Remarques :

• On a de même : b ² = a ² + c ² − 2ac cos B “ et c ² = a ² + b ² − 2ab cos C. “

• Lorsque A b = 90 ˚, la relation s’écrit : a ² = b ² + c ² .

(25)

Formule d’Al-Kashi

Propriété : Formule d’Al-Kashi Soit ABC un triangle. On note :

a = BC, b = AC, c = AB.

Alors :

a ² = b ² + c ² − 2bc cos A b A

B C

a b

c Remarques :

• On a de même : b ² = a ² + c ² − 2ac cos B “ et c ² = a ² + b ² − 2ab cos C. “

• Lorsque A b = 90 ˚, la relation s’écrit : a ² = b ² + c ² . Exemple

Calculer la mesure de l’angle ^BAC ‘ .

Vidéo : ^A ?

B C

5 4

6

(26)

Ensemble des points M tels que

−−→ MA · −−→

MB = 0

Propriété : ensemble de points et produit scalaire A et B sont deux points distincts donnés.

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan

www.mathGM.fr

Lycée Louise Michel (Gisors)

Les savoir-faire

310. Calculer un produit scalaire à l’aide de normes et d’un angle.

311. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec une projection orthogonale.

312. Calculer un produit scalaire dans un repère.

313. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec des normes.

314. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer une longueur ou un angle.

315. Choisir une méthode adaptée pour le calcul d’un produit

scalaire en vue de la résolution d’un problème.

Définition avec normes et angle

Définition : produit scalaire

Soit ~ u et ~v deux vecteurs non nuls du plan. Il existe trois points A, B et C tels que ~ u = − − →

AB et ~ v = −→

AC.

On appelle produit scalaire des vecteurs ~ u et ~ v le nombre réel noté ~ u · ~ v défini par : ~ u · ~ v = k~ uk × k~ vk × cos( BAC). ’ Autrement dit, − − →

AB · −→

AC = AB × AC × cos( BAC). ’

Remarques :

Si ~ u = ~ 0 ou ~ v = ~ 0 alors ~ u·~ v = 0.

On appelle carré scalaire du vecteur −− →

AB la quantité −− → AB· − − →

AB et on la note − − →

AB 2 . Ainsi : − − →

AB 2 = k − − →

ABk 2 = AB 2 . A

B

~ C u

~ u

~ v

~

v

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = .

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = AB × AC.

Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de sens contraire, alors − − →

AB · −→

AC = .

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = AB × AC.

Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de sens contraire, alors − − →

AB · −→

AC = − AB × AC.

Cas de vecteurs colinéaires

Propriété : produit scalaire et vecteurs colinéaires Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de même sens, alors

− − → AB · −→

AC = AB × AC.

Si −→

AB et −→

AC sont colinéaires et de sens contraire, alors − − →

AB · −→

AC = − AB × AC.

Exemple

Soit un triangle équilatéral ABC de côté 5.

Calculer −→

AB ·

− →

AB ² . Ainsi : − − →

AB ² = k − − →

ABk ² = AB ² . A

Dans une base orthonormée ( ~ı , ~ ), on considère ~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) deux vecteurs.

Dans une base orthonormée ( ~ı , ~ ), on considère ~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) deux vecteurs.

~ u · ~ v = xx ^′ + yy ^′

Dans une base orthonormée ( ~ı , ~ ), on considère ~ u(x ; y) et ~ v(x ^′ ; y ^′ ) deux vecteurs.

~ u · ~ v = xx ^′ + yy ^′

₋ ₃