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cours sur le produit scalaire

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Ch...: Produit scalaire dans le plan

I- Produit scalaire de deux vecteurs:

Définitions:

La norme d'un vecteur u , notée ∥u∥ est la... de ce vecteur.

Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de u par v le réel noté u⋅v défini par:

u⋅v=∥u∥×∥v∥×cosu ,v .

Si u ou v est le vecteur nul, alors u⋅v=0 . Attention:

Le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un vecteur mais... . « Scalaire » du latin scaleris (échelle) signifie numérique.

Remarque: Si A, B et C sont trois points distincts, en posant u=AB et v=AC on obtient:

AB⋅AC=...

Cas particulier de deux vecteurs colinéairesu etv non nuls:

Si u et v sont de même sens alors cosu ,v=... et u⋅v =...

Si u et v sont de sens contraires, cosu ,v=... et u⋅v =...

Remarque:

u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u=AB et v=AC et H projeté orthogonal de B sur [AC].

P: u⋅v=AB×AC et Q: u⋅v=AB×AH . Démontrer que P <=> Q.

II- Produit scalaire et projection:

Théorème 1:

Si A, B et C sont 3 points distincts du plan et si H est le projeté orthogonal de C sur(AB) alors:

AB⋅AC=AB⋅AH=AB×AH si H appartient à [AB)

AB⋅AC=AB⋅AH=−AB×AH Si H n'appartient pas à [AB).

AB⋅AC=0

Ex:

Si A, B et C sont 3 points non-alignés, H le projeté orthogonal de C sur [AB) et K celui de B sur (AC) alors en utilisant la symétrie du produit scalaire:

AB⋅AC=... donc AB⋅AH=...

Théorème 2:

Soit u un vecteur unitaire d'un axe A ,u et v un vecteur.

Il existe un unique vecteur v ' colinéaire à u tel que u⋅v=u⋅v ' . On l'appelle projeté orthogonal de

v sur A ,u .

v ' est le projeté orthogonal de v sur A ,u si et seulement si v '= u⋅v u .

Si v=MN , alors v '=M ' N ' où M' et N' sont les projetés orthogonaux de M et N sur A ,u .

T.Pautrel - cours: produits scalaires dans le plan - niveau 1ère S

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Schéma de la situation:

III- Expression analytique du produit scalaire:

Propriété:

Si deux vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives (x;y) et (x';y') dans un repère orthonormal, alors:

u⋅v=xx 'yy ' Démonstration:

Si u=0 ouv=0 , la formule est vérifiée.

Si u≠0 et v≠0 , on note u=OA et v=OB .

On utilise le repère orthonormal O ;i ;j tel que i et OA sont colinéaires de même sens et i ;j= 2 . A a pour coordonnées... avec x = ... = ... et y = ...

B a pour coordonnées (x';y') avec x'= ... et y' = ... .

i ,v=u ,v donc u⋅v = ... = xx' +...y = xx' + yy'.

Conséquence: Siux ;y , alors u²=u⋅u=x²y² et ∥u∥=

.

Remarque: Si u est un vecteur du plan, u⋅u=∥u∥² . Ce nombre est appelé ... deu et est aussi noté u² .

IV- Produit scalaire et orthogonalité:

Définition: deux vecteursu et v sont orthogonaux si l'un des deux est nul ou si les directions sont orthogonales.

On note alors u⊥v . Propriété

Le produit scalaire u⋅v est ... si et seulement si u et v sont orthogonaux.

Démonstration:

Si u ou v est le vecteur nul, alors u⋅v=0 . Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors ∥u∥≠0 et

∥v∥≠0 , doncu⋅v = 0 si et seulement si ... = 0, c'est à dire u ,v a pou mesure principale... ou ... ce qui équivaut à dire que u et v ont des directions perpendiculaires.

V- Propriétés du produit scalaire:

Pour tout vecteur u ,v ,w et tout réel k:

P1:u⋅vw=u⋅vu⋅w Démonstration:

Dans un repère on note ux ;y , vx ' ; y ' et wx ' ' ; y' ' .

u⋅vw=...

P2: u⋅v=v⋅u

P3: ku⋅v=ku⋅v

T.Pautrel - cours: produits scalaires dans le plan - niveau 1ère S

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P4: Égalités remarquables

Si u et v sont des vecteurs du plan, on a les égalités suivantes:

uv²=... soit ∥uv∥²=...

u−v²=... soit ∥u−v∥²=...

u−v⋅uv=... soit u−v⋅uv=...

Remarque:

Ces identités remarquables fournissent des expressions du produit scalaire en fonction des normes:

u⋅v=... ou...

On peut donc calculer un produit scalaire uniquement à partir des distances.

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