Ch...: Produit scalaire dans le plan
I- Produit scalaire de deux vecteurs:
Définitions:
➢ La norme d'un vecteur u , notée ∥u∥ est la... de ce vecteur.
➢ Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de u par v le réel noté u⋅v défini par:
u⋅v=∥u∥×∥v∥×cosu ,v .
➢ Si u ou v est le vecteur nul, alors u⋅v=0 . Attention:
Le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un vecteur mais... . « Scalaire » du latin scaleris (échelle) signifie numérique.
Remarque: Si A, B et C sont trois points distincts, en posant u=AB et v=AC on obtient:
AB⋅AC=...
Cas particulier de deux vecteurs colinéaires u et v non nuls:
➢ Si u et v sont de même sens alors cosu ,v=... et u⋅v =...
➢ Si u et v sont de sens contraires, cosu ,v=... et u⋅v =...
Remarque:
u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u=AB et v=AC et H projeté orthogonal de B sur [AC].
P: u⋅v=AB×AC et Q: u⋅v=AB×AH . Démontrer que P <=> Q.
II- Produit scalaire et projection:
Théorème 1:
Si A, B et C sont 3 points distincts du plan et si H est le projeté orthogonal de C sur(AB) alors:
AB⋅AC=AB⋅AH=AB×AH si H appartient à [AB)
AB⋅AC=AB⋅AH=−AB×AH Si H n'appartient pas à [AB).
AB⋅AC=0
Ex:
Si A, B et C sont 3 points non-alignés, H le projeté orthogonal de C sur [AB) et K celui de B sur (AC) alors en utilisant la symétrie du produit scalaire:
AB⋅AC=... donc AB⋅AH=...
Théorème 2:
Soit u un vecteur unitaire d'un axe A ,u et v un vecteur.
● Il existe un unique vecteur v ' colinéaire à u tel que u⋅v=u⋅v ' . On l'appelle projeté orthogonal de
v sur A ,u .
● v ' est le projeté orthogonal de v sur A ,u si et seulement si v '= u⋅v u .
● Si v=MN , alors v '=M ' N ' où M' et N' sont les projetés orthogonaux de M et N sur A ,u .
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Schéma de la situation:
III- Expression analytique du produit scalaire:
Propriété:
Si deux vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives (x;y) et (x';y') dans un repère orthonormal, alors:
u⋅v=xx 'yy ' Démonstration:
– Si u=0 ou v=0 , la formule est vérifiée.
– Si u≠0 et v≠0 , on note u=OA et v=OB .
On utilise le repère orthonormal O ;i ;j tel que i et OA sont colinéaires de même sens et i ;j= 2 . A a pour coordonnées... avec x = ... = ... et y = ...
B a pour coordonnées (x';y') avec x'= ... et y' = ... .
i ,v=u ,v donc u⋅v = ... = xx' +...y = xx' + yy'.
Conséquence: Si ux ;y , alors u²=u⋅u=x²y² et ∥u∥=
x²y² .Remarque: Si u est un vecteur du plan, u⋅u=∥u∥² . Ce nombre est appelé ... de u et est aussi noté u² .
IV- Produit scalaire et orthogonalité:
Définition: deux vecteurs u et v sont orthogonaux si l'un des deux est nul ou si les directions sont orthogonales.
On note alors u⊥v . Propriété
Le produit scalaire u⋅v est ... si et seulement si u et v sont orthogonaux.
Démonstration:
Si u ou v est le vecteur nul, alors u⋅v=0 . Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors ∥u∥≠0 et
∥v∥≠0 , donc u⋅v = 0 si et seulement si ... = 0, c'est à dire u ,v a pou mesure principale... ou ... ce qui équivaut à dire que u et v ont des directions perpendiculaires.
V- Propriétés du produit scalaire:
Pour tout vecteur u ,v , w et tout réel k:
P1: u⋅vw=u⋅vu⋅w Démonstration:
Dans un repère on note ux ;y , vx ' ; y ' et wx ' ' ; y' ' .
u⋅vw=...
P2: u⋅v=v⋅u
P3: ku⋅v=ku⋅v
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P4: Égalités remarquables
Si u et v sont des vecteurs du plan, on a les égalités suivantes:
● uv²=... soit ∥uv∥²=...
● u−v²=... soit ∥u−v∥²=...
● u−v⋅uv=... soit u−v⋅uv=...
Remarque:
Ces identités remarquables fournissent des expressions du produit scalaire en fonction des normes:
u⋅v=... ou...
On peut donc calculer un produit scalaire uniquement à partir des distances.
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