Chapitre 5 Produit scalaire

Chapitre 5

Produit scalaire

Sommaire

5.1 AB.~ AC~ . . . . 37

5.1.1 Activité d’introduction . . . 37

5.1.2 Définition et premières propriétés . . . 38

5.1.3 Lien avecH, le projeté orthogonal deBsur (AC) . . . 39

5.2 ~u.~v . . . . 39

5.2.1 Une autre définition . . . 39

5.2.2 D’autres propriétés. . . 39

5.3 Exercices . . . . 40

5.3.1 Calculs de produits scalaires, de longueurs ou d’angles. . . 40

5.3.2 Hauteurs ou perpendicularités . . . 42

5.1 AB~ .AC~

5.1.1 Activité d’introduction

On sait, d’après Pythagore, que, lorsque le triangleABCest rectangle enA, alorsAB²+AC²=BC²⇔ AB²+AC²−BC²=0.

On sait aussi, d’après la réciproque de Pythagore, que, lorsque le triangle n’est pas rectangleAB²+ AC²6=BC²⇔AB²+AC²−BC²6=0.

On s’intéressera dans ce chapitre à ce à quoi est égal cette différence quand le triangle est, ou n’est pas, rectangle.

La quantité qui va nous interesser sera plus précisementp=¹₂¡

AB²+AC²−BC²¢

. La présence du coefficient¹₂sera justifiée ultérieurement.

Soit un triangleABC.

On appelleH le projeté orthogonal deB sur la droite (AC) etp=¹₂¡

AB²+AC²−BC²¢ . 1. Montrer que siA=B ouA=Calorsp=0.

On supposera pour la suite que A, B et C sont distincts.

2. Vérifier que, lorsqueABC est rectangle enA,p=0.

3. Montrer quep=¹₂¡

AH²+AC²−C H²¢

5.1AB.~ AC~ Première générale : enseignement de spécialité

4. On va calculerpselon la position deHsur la droite (AC).

Premier cas : H∈[AC]

En écrivantC H=AC−AH, montrer quep=AC×AH=AC×AB×cosB AC. Deuxième cas : H∉[AC] etH∈[AC)

En écrivantC H=AH−AC, montrer quep=AC×AH=AC×AB×cosB AC. Troisième cas : H∉[AC] etH∈[C A)

En écrivantC H=AC+AH, montrer quep= −AC×AH=AC×AB×cosB AC. Que peut-on en déduire sur le signe depselon les valeurs deB AC?

5.1.2 Définition et premières propriétés

Nous allons donner àpson nom mathématique :

Définition 5.1. Soit−→AB et−→ACdeux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de−→AB et de−→AC, noté−→AB.−→AC, le nombre :

−→AB.−→AC=1 2

¡AB²+AC²−BC²¢

On vient de démontrer quelques unes de ses propriétés :

Propriété 5.1. Soit deux vecteurs−→AB et−→AC . Si−→AB=→−0 ou−→AC=−→0 alors−→AB.−→AC=0.

Si−→AB et−→AC sont des vecteurs non nuls alors−→AB.−→AC=0⇔(AB)⊥(AC).

On démontre facilement la propriété suivante :

Propriété 5.2. Soit deux vecteurs−→AB et−→AC .−→AB.−→AC=−→AC.−→AB.

Propriété 5.3. Soit deux vecteurs−→AB et−→AC non nuls.

−→AB.−→AC=AB×AC×cosB AC

On en déduit facilement que, lorsqueB AC est aigu,−→AB.−→AC>0 et, lorsqueB AC est obtus,−→AB.−→AC6 0.

Et surtout :

Propriété 5.4. Soit deux vecteurs−→AB et−→AC non nuls. Si−→AB et−→AC colinéaires et :

• de même sens−→AB.−→AC=AB×AC • de sens contraire−→AB.−→AC= −AB×AC

Première générale : enseignement de spécialité 5.2~u.~v

5.1.3 Lien avecH, le projeté orthogonal deB sur(AC)

Propriété 5.6. Soit deux vecteurs−→AB et−→AC et H le projeté orthogonal de B sur(AC).

−→AB.−→AC=−−→AH.−→AC .

Preuve. On a vu dans l’activité que−→AB.−→AC=¹₂¡

AH²+AC²−C H²¢ . Or−−→AH.−→AC=¹₂¡

AH²+AC²−C H²¢

. D’où l’égalité. ♦

On en déduit :

Propriété 5.7. Soit deux vecteurs−→AB et−→AC et H le projeté orthogonal de B sur(AC).

• −→AB.−→AC=AB×AH si−→AB et−−→AH sont de même sens.

• −→AB.−→AC= −AB×AH si−→AB et−−→AH sont de sens opposé.

5.2 ~u.~v

On peut généraliser le produit scalaire à deux vecteurs~uet~v en notant (~u;~v) l’angle entre ces deux vecteurs.

5.2.1 Une autre définition

Définition 5.2. Soit~u et~v deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de~u et de~v, noté

~u.~v, le nombre :

~u.~v=1 2

¡k~uk²+ k~vk²− k~u−~vk²¢

On démontre que cette définition est équivalente à la précédente en posant~u=−→ABet~v=−→AC et en remarquant queBC²=C B²=

°°

°−→C B°°°²=

°°

°−−→C A+−→AB°°°²= k −~v+~uk².

5.2.2 D’autres propriétés

Les propriétés précédentes deviennent alors :

Propriété 5.8. Soit~u et~v deux vecteurs. Alors, si~u=~0ou~v=~0alors~u.~v=0et, si~u et~v sont des vecteurs non nuls :

• ~u.~v=0⇔~u⊥~v.

• ~u.~v= k~uk × k~vk ×cos(~u;~v).

• ~u.~v=~v.~u.

• ~u²= k~uk².

• En notant~v^′le projeté orthogonal de~v sur la direction donnée par~u, on a~u.~v=~u.~v^′. Ces propriétés sont des re-écritures de propriétés précédentes.

5.3 Exercices Première générale : enseignement de spécialité

5.3 Exercices

5.3.1 Calculs de produits scalaires, de longueurs ou d’angles

EXERCICE5.1.

M NPQest un carré avecM N=6.

I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants : 1. −−→M N.QP−−→;

2. −−→M N.−−→P N;

3. −→I N.−→I P; 4. −→QI.−→N I. EXERCICE5.2.

ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm.

I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants : 1. −→B A.−→BC;

2. C A.−−→C I−→;

3. −→C B.−→AI.

EXERCICE5.3.

ABC est un triangle dans lequel AB=2 et AC= 3.

De plus−→AB.−→AC=4.

1. (a) CalculerC A.−−→C B−→. (b) Calculer−→B A.−→BC.

(c) CalculerBC.

2. Ce triangle est-il rectangle?

EXERCICE5.4.

ABC D est un parallélogramme avec AB = 4, AD=5 etAC=7.

1. Calculer−→AB.−−→AD.

2. En déduireBD.

EXERCICE5.5.

ABC Dest un parallélogramme de sens direct tel qu’indiqué sur le schéma ci-dessous (qui n’est pas en taille réelle) oùD A=4,DC=8 etDB=7.

1. Déterminer−−→D A.−−→DC.

A B

C D

EXERCICE5.6.

ABC D est un parallélogramme tel que AB = 6 cm,AD=4 cm et AC=9 cm.

1. Montrer que−→AB.−−→AD=²⁹₂.

2. En déduire la longueur BD. La valeur exacte est attendue.

3. En déduire une mesure de B AD à 0,01˚près.

EXERCICE5.7.

ABC Dest un trapèze rectangle de baseAB=2a etC D=aet de hauteurAD=h.

1. Exprimer−→AC.−−→BDen fonction deaet deh.

2. Existe-t-il une valeur dehtelle que les dia- gonales (AC) et (BD) soient perpendicu- laires?

b b

b

b

A B

C D

Première générale : enseignement de spécialité 5.3 Exercices

EXERCICE5.8.

ABC Dest un carré de côtéa.

I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [BC].

H est le projeté orthogonal de D sur la droite (AJ) et K le point d’intersection des segments [AJ] et [C I].

1. En exprimant de deux façons le produit scalaire−→AJ.−−→AD:

(a) Calculer la longueurAH en fonction dea;

(b) En déduire la distance du pointDà la droite (AJ) en fonction dea.

2. En exprimant de deux façons le produit scalaire −→AJ.C I−→, déterminer le cosinus de l’angle JK Id puis donner la valeur appro- chée à 0,1^◦près par défaut de la mesure de JK Id.

b bb

b b

b

A B

C D

H

K

J

I EXERCICE5.9.

ABC Dest un rectangle tel queAD=3 etAB =5.

Eest le milieu de [AB].

1. Calculer les longueursACetDE.

2. En exprimant chacun des vecteurs −→AC et

−−→DE en fonction des vecteurs −→AB et −−→AD, calculer le produit scalaire−→AC.−−→DE.

3. En déduire la valeur de l’angle³−−→DE;−→AC´ θ = en degrés à 0,01 près.

θ

× ×

×

×

A E× B

C D

EXERCICE5.10(6 points).

ABC Dest un rectangle de sens indirect tel qu’in- diqué sur le schéma ci-dessous (qui n’est pas en taille réelle) tel queAD=2 etDC=4.

EetF sont des points du segment [DC] tels que DF=EC=1.

On appelle I l’intersection des droites (AE) et (BF).

1. Montrer queAE=p 13.

On admettra queAE=BF si besoin.

2. En exprimant −→AE.−→F B de deux manières différentes, déterminer la valeur exacte de cos¡

E I B¢

puis une valeur approchéeE I B à 0,01˚près.

D C

B A

b bb

b b b

b

F E

I

5.3 Exercices Première générale : enseignement de spécialité

5.3.2 Hauteurs ou perpendicularités

EXERCICE5.11.

ABC Dest un carré.I est le milieu de [AB].J est le milieu de [BC].

À l’aide du produit scalaire, montrer que les droites (AJ) et (DI) sont perpendiculaires.

EXERCICE5.12.

ABC est un triangle rectangle enA.Hest le pied de la hauteur issue deA;Iest le milieu de [BC];

P etQ sont les projetés orthogonaux de H res- pectivement sur (AB) et (AC).

1. Montrer que ¹₂−→AB+¹₂−→AC=−→AI.

2. Justifier que −→AB.−−→PQ = −→AB.−−→H A et que

−→AC.−−→PQ=−→AC.−−→AH.

3. En déduire que−→AI.−−→PQ=0.

4. Que peut-on en déduire pour les droites (AI) et (PQ)?

× ×

×

×

×

×

×

A C

B

P H

Q I

EXERCICE5.13.

B est un point appartenant à [AE]. ABC D et BEFGsont des carrés situés dans le même demi- plan par rapport à (AE), comme sur la figure ci- contre.

Montrer que (EC) est la hauteur issue deEdans le triangleAEG.

b bb

b bbb

A B

C D

E F G

EXERCICE5.14.

SoitABC Dun carré de sens direct de côtéa. On construit un rectangle APQR de sens direct tel que :

• P∈[AB] etR∈[AD];

• AP=DR=b.

1. En décomposant les vecteurs−−→CQet−→PRse- lon des directions orthogonales, calculer

−−→CQ.−→PR.

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

× ×

×

×

×

×

×

A P B

C D

R Q