Nom :
Groupe : 1MATHS1 DS n°5
Produit scalaire Le : 04/03/2021 Durée : 1 h 30 Note : … / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Connaitre la formule du cours adapté à chaque situation.
Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé.
Utiliser différentes expressions d'un produit scalaire pour déterminer un angle / une longueur.
Utiliser les formules d'Al-Kashi pour déterminer un angle / une longueur.
Exprimer un vecteur en fonction de deux autres.
Déterminer des coordonnées de points dans un repère orthonormé.
Exercice bonus : utiliser le produit scalaire pour déterminer si des droites sont perpendiculaires.
Exercice 1 : Cours … / 5
Compléter, dans chaque cas, avec la formule du cours la plus adaptée au calcul demandé.
(*) Justifier la réponse
(**) Justifier la simplification du résultat.
a) Dans un triangle ABC, H est le projeté orthogonal de A sur (BC). Dans ce cas :
◦ . = ………
b) Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J le point tel que = . Dans ce cas :
◦ . = ……… (*) car ………
on en déduit . = ……… (**) car ………
◦ (*) . = ……… (*) car ………
on en déduit . = ……… (**) car ………
c) Un triangle ABC est rectangle en A. On connait seulement la longueur de AC. Dans ce cas :
◦ . = ……… (*) car ………
◦ . = ……… (*) car ………
d) Dans un triangle ABC, on note = BC, = AC et = AB. Dans ce cas, :
◦ La formule d'Al-Kashi qui permet de déterminer AB est : ………
◦ La formule d'Al-Kashi qui permet de déterminer cos est : ………
◦ D'après cette formule, cos = ………
e) Dans un parallélogramme ABCD, on donne les valeurs de AB, AC, BC et Dans ce cas :
◦ . = ………
◦ . = ………
. = ……… (**) car ………
¡!BC ¡!BA
¡!AB ¡AI!
¡!AC ¡!AJ
¡!AJ -1 4
¡!AC
¡!AB ¡!AC
¡!CA ¡!CB
[
ABC
a b c
[
ABC
[BAD
¡!AB ¡!AD
¡!AB ¡!
BC
¡!AB ¡AI!
¡!AC ¡!AJ
¡!AB ¡!BC
Exercice 2 : Dans un repère orthonormé on donne A(1 ; 2), B(2 ; 3) et C(4 ; 1). … / 3 1. Calculer .
2. En exprimant . d'une autre manière, déterminer l'angle au degré près.
Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme tel que AB = 5, BC = 3 et AC = 7. … / 4 1. Calculer .
2. a) Calculer .
b) Justifier que . = (AC – BD ) c) En déduire la valeur exacte de BD.
Exercice 4 : ABC est un triangle tel que AB = , BC = 5 et = . … / 3 1. Démontrer que AC = .
2. En déduire la mesure de puis au degré près.
Exercice 5 : ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AC = 5. … / 5 On note D, E et F les milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].
On se place dans le repère orthonormé (A ; , ) tel que : = et =
1. Donner les coordonnées de D et E dans ce repère.
2. En utilisant la relation de Chasles, exprimer :
• en fonction de et .
• puis en fonction de et
• En déduire = + puis les coordonnées de F.
3. Calculer . puis interpréter le résultat.
Exercice 6 (Bonus) : ABCD est un rectangle tel que AB = et AD = . E est le milieu de [AB]. … / 2 Les droites (ED) et (AC) sont elles perpendiculaires ?
~i ~j
~i 1 5
¡!AB ~j 1 5
¡!AC
¡!AF
¡!AF ¡!AB ¡!BC
¡!AF ¡!
AB ¡!
AC 5
2~i 5 2 ~j
¡!AF ¡!ED p2 1
¡!AB ¡!AC
¡!AB ¡!AC BAC[
¡!AB ¡!AC
¡!AB ¡!
AD
¡!AB ¡!AD 1 4
2 2
3p
2 ABC[ ¼
4
[BCA [BAC
p13
Correction du DS n°5
Exercice 1 : Compléter, dans chaque cas, avec la formule du cours la plus adaptée au calcul demandé.
a) Dans un triangle ABC, H est le projeté orthogonal de A sur (BC). Dans ce cas :
◦ . = .
b) Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J le point tel que = . Dans ce cas :
◦ . = AB × AI car et sont colinéaires et de même sens.
on en déduit . = AB car puisque I est le milieu de [AB] alors AI = AB.
◦ . = - AC × AJ car et sont colinéaires et de sens contraires.
on en déduit . = - AC car puisque = alors AJ = AC.
c) Un triangle ABC est rectangle en A. On connait seulement la longueur de AC. Dans ce cas :
◦ . = 0 car et sont orthogonaux.
◦ . = . = car A est le projeté orthogonal de B sur (AC).
d) Dans un triangle ABC, on note = BC, = AC et = AB. Dans ce cas, :
◦ La formule d'Al-Kashi qui permet de déterminer AB est
◦ La formule d'Al-Kashi qui permet de déterminer cos est
◦ D'après cette formule, cos =
e) Dans un parallélogramme ABCD, on donne les valeurs de AB, AC, BC et Dans ce cas :
◦ . = AB × AD × = AB × BC ×
◦ . = (|| + || – || || – || || )
◦ . = (AC – AB – BC ) car, d'après la relation de Chasles, + =
Exercice 2 : Dans un repère orthonormé on donne A(1 ; 2), B(2 ; 3) et C(4 ; 1).
1. Calculer .
. = = =
2. En exprimant . d'une autre manière, déterminer l'angle au degré près.
. = AB × AC ×
2 = × ×
2 = × × 2 = ×
= = = = On en déduit ≈ ° Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme tel que AB = 5, BC = 3 et AC = 7.
1. Calculer .
. = (|| || + || || – || – || )
Or – = + = + = d'après la relation de Chasles.
Donc . = (AB + AC – BC ) = ( ) = ( ) =
¡!BC ¡!
BA
¡!AJ -1 4
¡!AC
¡!AB ¡AI!
¡!AB ¡AI!
¡!AC ¡!
AJ
¡!AC ¡!AJ
¡!AB ¡!AC
¡!CA ¡!CB
a b c
[ABC
[
ABC
[BAD
¡!AB ¡!AD
¡!AB ¡!BC
¡!AB ¡!AC
¡!AB ¡!AC BAC[
¡!AB ¡!AC
¡!BC ¡!
BH
¡!AB ¡AI! 1
2
2 1
¡! 2 AC ¡!
AJ 1 2
4
¡!AJ -1 4
¡!AC 1 4
¡!AB ¡!AC
¡!CA ¡!CA ¡!CA2
b2 =a2+c2¡2ac cos(B)b b2¡a2¡c2
-2ac
cos(BAD)[ cos(BAD)[ 1
2
¡!AB ¡!BC 2 ¡!AB 2 ¡!BC 2 1
2
¡!AB ¡!BC 2 2 2 ¡!AB ¡!BC ¡!AC
¡!AB ¡!
AB ¡!
AC ¡!
AC µ2¡1
3¡2
¶ µ 1 1
¶ µ
4¡1 1¡2
¶ µ 3 -1
¶
¡!AB ¡!
AC 1£3 + 1£(-1) 3¡1 2
¡!AB ¡!AC cos(BAC)[
cos(BAC)[ p12+ 12 p
32+ (-1)2 cos(BAC)[ p2 p
10
cos(BAC)[ p20
cos(BAC)[ 2 p20
2p 20 20
2£2p 5 20
p5
5 BAC[ 63
¡!AB 1 2
¡!AB 2
¡!AC ¡!
¡! AC
AB 2 ¡! 2 AC
¡!AB ¡!AC ¡!AB ¡!CA ¡!CA ¡!AB ¡!CB
¡!AB ¡!
AC 1 2
2 2 2 1
2 52+ 72¡32 1
2 25 + 49¡9 65 2
c2 =a2+b2¡2ab cos(C)b
2. a) Calculer .
. = (|| + || – || || – || || ) Or + = d'après la règle du parallélogramme.
Donc . = (AC – AB – AD ) = ( ) = ( ) =
b) Justifier que . = (AC – BD ) . = (|| + || – || – || ) . = (|| || – || + || )
. = (|| || – || || ) = (AC – BD ) c) En déduire la valeur exacte de BD.
D'une part . =
D'autre part . = (AC – BD ) = ( – BD )
Donc ( – BD ) = ⇔ – BD = ⇔ – BD = ⇔ = BD ⇔ BD = BD ≥ 0 donc BD =
Exercice 4 : ABC est un triangle tel que AB = , BC = 5 et = . 1. Démontrer que AC = .
D'après la formule d'Al-Kashi, on a : AC = AB + BC – 2 AB × BC × AC =
AC = = = =
AC ≥ 0 donc AC =
2. En déduire la mesure de puis au degré près.
D'après la formule d'Al-Kashi, on a : AB = AC + BC – 2 AC × BC ×
cos = = = On en déduit ≈ °
Or, la somme des mesures des angles d'un triangle vaut °.
Donc = – – ≈ ≈ °
Exercice 5 : ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AC = 5.
On note D, E et F les milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].
On se place dans le repère orthonormé (A ; , ) tel que : = et =
1. Donner les coordonnées de D et E dans ce repère.
= donc = . De même, = .
Dans le repère orthonormé (A ; , ) on a A( ; ), B( ; ) et C( ; ).
D est le milieu de [AB], E est celui de [AC].
On en déduit = et = et donc D( ; ) et E( ; ).
¡!AB ¡!AD
¡!AB ¡!AD 1 4
2 2
3p
2 ABC[ ¼
4
[BCA [BAC
~i ~j
~i 1 5
¡!AB ~j 1 5
¡!AC
¡!AB 1 2
¡!AB 2 2 2
¡!AD ¡!AD ¡!AB ¡!AD
¡!AB 1 2
2 2 2 1
2
1 2
¡!AB ¡!AD ¡!AC
¡!AD 72¡52¡32 49¡25¡9 15 2
¡!AB ¡!
AD ¡!
AB ¡!
AD 2 ¡!
AB ¡!
AD 2
1 4
2 2
1
¡! 4
AB ¡!AD 1 4
2 ¡!AB 2
¡!AC ¡!DA
¡!AB ¡!AD 1 4
¡!AC 2 ¡!DB 2
¡!AB ¡!
AD
¡!AB ¡!AD 1 4
2 2
15
2 1
4 72 2
1
4 72 2 15
2 72 2 15£4 2
2 30
49 49¡30 2 2 19
p19
2 2 2 cos(ABC)[
2 (3p
2)2+ 52¡2£3p
2£5£cos(¼ 4)
2 18 + 25¡30p 2£
p2
2 18 + 25¡30£ 2
2 18 + 25¡30 13 p13
p13
2 2 2 cos(BCA)[
(3p
2)2 =p
132+ 52¡2£p
13£5£cos(BCA)[ 18 = 13 + 25¡10p
13cos(BCA)[ [BCA 13 + 25¡18
10p 13
20 10p
13 2p
13
13 BCA[ 56
[
BAC BCA[ ABC[ 79
180 180 180¡56¡45
2,5 0 0 2,5
~i 1 5
¡!AB ¡!AB 5~i ¡!AC 5~j
~i ~j 0 0 5 0 0 5
¡!AD 1 2
¡!AB 1 2
¡!AE ¡!
AC
2. En utilisant la relation de Chasles, exprimer :
• en fonction de et .
• puis en fonction de et
• En déduire = + puis les coordonnées de F.
D'après la relation de Chasles, = Or F est le milieu de [BC] donc = On en déduit successivement = + = + = + = – =
Or = et = . Donc = et =
Ainsi, = = +
On en déduit que F a pour coordonnées ( ; ).
3. Calculer . puis interpréter le résultat.
. = = =
On en déduit que et sont orthogonaux, autrement dit que (AF) et (ED) sont perpendiculaires.
Exercice 6 (Bonus) : ABCD est un rectangle tel que AB = et AD = . E est le milieu de [AB].
Les droites (ED) et (AC) sont elles perpendiculaires ?
p2 1
¡!AF ¡!AB
¡!AF ¡!AB ¡!AC
¡!AF 5 2~i 5
2~j
¡!AF ¡!AB +¡!BF
¡!BC
¡!BC
¡!BF 1
¡! 2
AF 1
2
¡!BC
¡!AB
¡!AF ¡!AB 1
2(¡!BA +¡!AC)
¡!AF ¡!AB 1 2
¡!BA + 1 2
¡!AC
¡!AF ¡!
AB 1 2
¡!AB + 1 2
¡!AC
¡!AF 1 2
¡!AB + 1 2
¡!AC
¡!AF 1
2 £5~i+ 1
2 £5~j 5 2
~i 5 2
~j
~i 1 5
¡!AB ~j 1 5
¡!AC ¡!AB 5~i ¡!AC 5~j
2,5 2,5
¡!AF
µ2,5¡0 2,5¡0
¶ µ 2,5 2,5
¶
¡!AF
¡!AF
¡!ED
¡!ED ¡!ED µ2,5¡0
0¡2,5
¶ µ 2,5 -2,5
¶
¡!ED
¡!AF 2,5£2,5 + 2,5£(-2,5) 6,25¡6,25 0
¡!AF ¡!ED
