13.5 Calculons la longueur AC en appliquant le théorème du cosinus au triangle ABC :

13.5 Calculons la longueur AC en appliquant le théorème du cosinus au triangle ABC :

A B

C D

30

20

60˚

γ

AC ² = 30 ² + 20 ² − 2 · 30 · 20 · cos(60˚) = 700 AC = √

700 ≈ 26,46

Toujours avec le théorème du cosinus, déterminons l’angle γ : 30 ² = 20 ² + ( √

700) ² − 2 · 20 · √

700 · cos(γ) 30 ² − 20 ² − ( √

700) ² = − 2 · 20 · √

700 · cos(γ) cos(γ) = 30 ² − 20 ² − ( √

700) ²

− 2 · 20 · √

700 ≈ 0,188 982 γ = cos ^{− 1} (0,188 982) ≈ 79,11˚

Après avoir rappelé que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu (donc CI = ^AC ₂ = ^{√ 700} ₂ ≈ 13,23), considérons à présent le triangle BCI :

A B

C D

I 20 θ

79,11˚

13, 23

Appliquons le théorème du cosinus pour calculer BI : BI ² = 13,23 ² + 20 ² − 2 · 13,23 · 20 · cos(79,11) = 475 BI = √

475 ≈ 21,79

Il en résulte BD = 2 · BI = 2 √

475 ≈ 43,59

Calculons enfin l’angle θ grâce au théorème du cosinus : 20 ² = 13 , 23 ² + 21 , 79 ² − 2 · 13 , 23 · 21 , 79 · cos( θ )

20 ² − 13,23 ² − 21,79 ² = − 2 · 13,23 · 21,79 · cos(θ) cos(θ) = 20 ² − 13,23 ² − 21,79 ²

− 2 · 13,23 · 21,79 ≈ 0,433 555 θ = cos ^{− 1} (0,433 555) ≈ 64,31˚

Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle quelconque Corrigé 13.5